questão (2 pontos):
a) Qual é a circulação em torno de um quadrado, de 1000 km de lado, para uma corrente de leste a qual decresce em magnitude para ao norte a uma taxa de
por 500 km ?
a) Qual é a circulação em torno de um quadrado, de 1000 km de lado, para uma corrente de leste a qual decresce em magnitude para ao norte a uma taxa de
Passo 1
O enunciado pede a circulação em torno de um quadrado de lado
para uma corrente que é dirigida para leste (ou seja, só tem componente zonal) e cuja velocidade diminui quando nos movemos para o norte à razão de
a cada
. Dados importantes que temos explícitos:
- lado do quadrado:
, - direção da corrente: leste (componente zonal apenas),
- taxa de variação da magnitude para o norte:
por .
O que nos pedem: calcular a circulação (integral de linha fechada) ao redor do quadrado.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas simples:
para leste e
para norte. Como a corrente é só para leste e depende apenas de
, podemos escrever o campo de velocidade como
Aqui
é a componente zonal (velocidade para leste) em metros por segundo, e
é o versor na direção
. A circulação ao redor de uma curva fechada
é definida por
onde
é o elemento de comprimento orientado ao longo da curva (tomaremos a orientação anti-horária, como é usual). Vou calcular a circulação explicitamente pelas quatro arestas do quadrado — é direto e fácil de aplicar na prova.
Passo 3
Convertemos dados e calculamos o gradiente
. A taxa dada é uma diminuição de
a cada
. Em metros:
Portanto a derivada é constante e vale
Expliquei o sinal negativo porque a velocidade decresce ao Norte: ao aumentar
,
diminui.
Passo 4
Transformamos o lado do quadrado para metros e calculamos a variação total de
entre a base (y=0) e o topo (y=L):
Como
é constante, a diferença entre
na base e
no topo é
Calculando:
Interpretação: indo do sul ao norte por
, a componente zonal diminui
.
Passo 5
Agora calculamos a circulação somando as contribuições das quatro arestas (orientação anti-horária):
- aresta sul (base), de
a em : e , contribuição . - aresta leste, de
a em : e . - aresta norte (topo), de
a em : deslocamento é para oeste, , contribuição . - aresta oeste, de
a em : vertical para baixo, novamente produto escalar zero.
Somando:
Substituindo os valores:
Passo 6
(Verificação alternativa — ideia útil para prova) Pelo Teorema de Green (ou relacionando circulação e vorticidade), a circulação é também a integral dupla sobre a área
da componente vertical do rotacional:
Aqui
e
, logo o integrando é
. A área é
. Assim
confirmando o resultado anterior.