4{ }^{\text {a }} questão (2 pontos):
a) Qual é a circulação em torno de um quadrado, de 1000 km de lado, para uma corrente de leste a qual decresce em magnitude para ao norte a uma taxa de 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} por 500 km ?

Passo 1

O enunciado pede a circulação em torno de um quadrado de lado 1000\\ \mathrm{km} para uma corrente que é dirigida para leste (ou seja, só tem componente zonal) e cuja velocidade diminui quando nos movemos para o norte à razão de 10\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} a cada 500\\ \mathrm{km}. Dados importantes que temos explícitos:
  • lado do quadrado: L=1000\\ \mathrm{km},
  • direção da corrente: leste (componente zonal apenas),
  • taxa de variação da magnitude para o norte: 10\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} por 500\\ \mathrm{km}.
    O que nos pedem: calcular a circulação (integral de linha fechada) ao redor do quadrado.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas simples: x para leste e y para norte. Como a corrente é só para leste e depende apenas de y, podemos escrever o campo de velocidade como
\mathbf{v}(x,y)=u(y)\,\hat{\mathbf{i}}.
Aqui u(y) é a componente zonal (velocidade para leste) em metros por segundo, e \hat{\mathbf{i}} é o versor na direção x. A circulação ao redor de uma curva fechada C é definida por
\Gamma=\oint_{C}\mathbf{v}\cdot d\mathbf{l},
onde d\mathbf{l} é o elemento de comprimento orientado ao longo da curva (tomaremos a orientação anti-horária, como é usual). Vou calcular a circulação explicitamente pelas quatro arestas do quadrado — é direto e fácil de aplicar na prova.

Passo 3

Convertemos dados e calculamos o gradiente \dfrac{du}{dy}. A taxa dada é uma diminuição de 10\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} a cada 500\\ \mathrm{km}. Em metros:
500\\ \mathrm{km}=500{,}000\\ \mathrm{m}.
Portanto a derivada é constante e vale
\frac{du}{dy}=-\frac{10\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}{500{,}000\\ \mathrm{m}}=-2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Expliquei o sinal negativo porque a velocidade decresce ao Norte: ao aumentar y, u diminui.

Passo 4

Transformamos o lado do quadrado para metros e calculamos a variação total de u entre a base (y=0) e o topo (y=L):
L=1000\\ \mathrm{km}=1{,}000{,}000\\ \mathrm{m}=1\times 10^{6}\\ \mathrm{m}.
Como \dfrac{du}{dy} é constante, a diferença entre u na base e u no topo é
u(0)-u(L) = -\big(u(L)-u(0)\big) = -\left(\frac{du}{dy}\right)L = -\big(-2{,}0\times 10^{-5}\big)\times 1\times 10^{6}.
Calculando:
u(0)-u(L)=2{,}0\times 10^{-5}\times 1\times 10^{6}=20\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Interpretação: indo do sul ao norte por 1000\\ \mathrm{km}, a componente zonal diminui 20\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Agora calculamos a circulação somando as contribuições das quatro arestas (orientação anti-horária):
  • aresta sul (base), de x=0 a x=L em y=0: d\mathbf{l}=dx\,\hat{\mathbf{i}} e \mathbf{v}=u(0)\hat{\mathbf{i}}, contribuição \int_{0}^{L}u(0)\,dx = u(0)\,L.
  • aresta leste, de y=0 a y=L em x=L: d\mathbf{l}=dy\,\hat{\mathbf{j}} e \mathbf{v}\cdot d\mathbf{l}=u(y)\hat{\mathbf{i}}\cdot\hat{\mathbf{j}}\,dy=0.
  • aresta norte (topo), de x=L a x=0 em y=L: deslocamento é para oeste, d\mathbf{l}=-dx\,\hat{\mathbf{i}}, contribuição \int_{L}^{0}u(L)(-dx)= -u(L)\,L.
  • aresta oeste, de y=L a y=0 em x=0: vertical para baixo, novamente produto escalar zero.
    Somando:
\Gamma = u(0)\,L - u(L)\,L = L\big(u(0)-u(L)\big).
Substituindo os valores:
\Gamma = 1\times 10^{6}\\ \mathrm{m}\times 20\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1} = 2{,}0\times 10^{7}\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

(Verificação alternativa — ideia útil para prova) Pelo Teorema de Green (ou relacionando circulação e vorticidade), a circulação é também a integral dupla sobre a área A da componente vertical do rotacional:
\Gamma=\iint_{A}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui v=0 e \partial u/\partial y=-2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}, logo o integrando é -\partial u/\partial y=2{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{s}^{-1}. A área é L^{2}=(1\times10^{6}\\ \mathrm{m})^{2}=1\times10^{12}\\ \mathrm{m}^{2}. Assim
\Gamma = 2{,}0\times 10^{-5}\times 1\times10^{12}=2{,}0\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

2\cdot 10^{7}\\ \mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-1}

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