A superfície S é o revestimento lateral de um cilindro reto de raio a=\sqrt{2}, estendendo-se verticalmente entre z=-1 e z=1. (Não estão incluídas tampas superiores ou inferiores.)
A integral pedida é uma integral de superfície de uma função escalar sobre S, ou seja, vamos somar f multiplicada pelo elemento de área ds sobre toda a superfície.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| é a magnitude do produto vetorial (que dá o elemento de área). Aqui:
f(\mathbf{r}(u,v)) significa avaliar a função na parametrização.
\big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá quanto a área no domínio D se estica para a área na superfície.
Passo 3
Escolha da parametrização (motivo e forma): para o cilindro de raio a=\sqrt{2} é natural usar coordenadas cilíndricas no contorno lateral. Parametrizamos por ângulo \theta e altura z:
Concluir o valor da integral: como a integral em \theta é zero, todo o produto é zero. Observando que a^2=(\sqrt{2})^2=2 apenas confirma que o fator multiplicativo não anula o zero. Portanto
\iint_{S}(2x+y)\,ds = 0.
Intuição: as contribuições positivas e negativas em \theta se cancelam por simetria ao longo da volta do cilindro.