Exercício 27. Calcule \int_{S}(2 x+y) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=2,-1 \leq z \leq 1\right..

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\int_{S}(2x+y)\,ds,
onde a superfície S é dada por
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}=2,\; -1\le z\le 1\}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função integranda é f(x,y,z)=2x+y.
  • A superfície S é o revestimento lateral de um cilindro reto de raio a=\sqrt{2}, estendendo-se verticalmente entre z=-1 e z=1. (Não estão incluídas tampas superiores ou inferiores.)
  • A integral pedida é uma integral de superfície de uma função escalar sobre S, ou seja, vamos somar f multiplicada pelo elemento de área ds sobre toda a superfície.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): para uma superfície parametrizada por \mathbf{r}(u,v), a integral de superfície de uma função escalar f é
\iint_{S} f\,ds = \iint_{D} f(\mathbf{r}(u,v))\; \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\|\;du\,dv,
onde \mathbf{r}_u e \mathbf{r}_v são as derivadas parciais da parametrização e \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| é a magnitude do produto vetorial (que dá o elemento de área). Aqui:
  • f(\mathbf{r}(u,v)) significa avaliar a função na parametrização.
  • \big\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\big\| dá quanto a área no domínio D se estica para a área na superfície.

Passo 3

Escolha da parametrização (motivo e forma): para o cilindro de raio a=\sqrt{2} é natural usar coordenadas cilíndricas no contorno lateral. Parametrizamos por ângulo \theta e altura z:
\mathbf{r}(\theta,z)=\big(a\cos\theta,\; a\sin\theta,\; z\big),
com
a=\sqrt{2},\qquad \theta\in[0,2\pi],\qquad z\in[-1,1].
Esta parametrização percorre todo o cilindro lateral exatamente uma vez: variar \theta faz uma volta, variar z cobre a altura.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais e o elemento de área: primeiro as derivadas
\mathbf{r}_\theta = \big(-a\sin\theta,\; a\cos\theta,\;0\big), \qquad \mathbf{r}_z = \big(0,\;0,\;1\big).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z = \big(a\cos\theta,\; a\sin\theta,\;0\big).
A magnitude desse vetor (o elemento de área) é
\big\|\mathbf{r}_\theta\times\mathbf{r}_z\big\| = \sqrt{(a\cos\theta)^2+(a\sin\theta)^2} = \sqrt{a^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)} = a.
Portanto o elemento de área é ds = a\,d\theta\,dz.

Passo 5

Substituir a parametrização na integranda e montar a integral dupla: ao parametrizar temos
x=a\cos\theta,\qquad y=a\sin\theta,
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2x+y = 2a\cos\theta + a\sin\theta = a(2\cos\theta+\sin\theta).
Multiplicando por ds=a\,d\theta\,dz obtemos o integrando total
a^2(2\cos\theta+\sin\theta)\;d\theta\,dz.
Assim a integral sobre S vira
\iint_{S}(2x+y)\,ds = \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{z=-1}^{1} a^2(2\cos\theta+\sin\theta)\;dz\,d\theta.

Passo 6

Integrar em z (é simples porque o integrando não depende de z): a integração em z de -1 a 1 dá fator 2:
\int_{z=-1}^{1} a^2(2\cos\theta+\sin\theta)\;dz = 2a^2(2\cos\theta+\sin\theta).
Portanto
\iint_{S}(2x+y)\,ds = 2a^2 \int_{0}^{2\pi} (2\cos\theta+\sin\theta)\;d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta: usamos identidades básicas de integrais de seno e cosseno em um período inteiro:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\;d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{2\pi}=0, \qquad \int_{0}^{2\pi}\sin\theta\;d\theta = -\cos\theta\Big|_{0}^{2\pi}=0.
Logo
\int_{0}^{2\pi} (2\cos\theta+\sin\theta)\;d\theta = 2\cdot 0 + 0 = 0.

Passo 8

Concluir o valor da integral: como a integral em \theta é zero, todo o produto é zero. Observando que a^2=(\sqrt{2})^2=2 apenas confirma que o fator multiplicativo não anula o zero. Portanto
\iint_{S}(2x+y)\,ds = 0.
Intuição: as contribuições positivas e negativas em \theta se cancelam por simetria ao longo da volta do cilindro.

Resposta

0

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