I=integral0^1 x d xx^2+3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida $ I = \int_{0}^{1} \frac{x , dx}{x^{2} + 3x + 2} $. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente, técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações racionais usando frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador $ x^{2} + 3x + 2 $. Para facilitar a integração, é legal ver se conseguimos fatorar esse polinômio. Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois fatores mais simples.

Passo 3

Fatorando o denominador $ x^{2} + 3x + 2 $, buscamos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então:
x^2 + 3x + 2

Passo 4

Agora que o denominador está fatorado, nossa integral fica:
I = integral0^1 x , dx(x + 1)(x + 2)
Para resolver essa fração, vamos usar o método das frações parciais. Isso significa que queremos escrever $ \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} $ como uma soma de duas frações mais simples.

Passo 5

Vamos supor que:
x(x + 1)(x + 2) = Ax + 1 + Bx + 2
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por $ (x + 1)(x + 2) $ para eliminar os denominadores, temos:
(x + 1)(x + 2)
Expanda o lado direito:
x = A(x + 2) + B(x + 1)
Juntando os termos semelhantes:
x = A x + 2A + B x + B

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com $ x $:
x
Para os termos constantes:
A + B = 1

Passo 8

Temos o seguinte sistema de equações:
A + B = 1 2A + B = 0
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
(2A + B) - (A + B) = 0 - 1 A = -1
Substituindo $ A = -1 $ na primeira equação:
A = -1

Passo 9

Agora que encontramos $ A = -1 $ e $ B = 2 $, podemos reescrever a fração original:
A = -1

Passo 10

Voltando à nossa integral, temos:
I = integral0^1 ( -1x + 1 + 2x + 2 ) dx
Vamos separar a integral em duas partes:
I = -integral0^1 1x + 1 , dx + 2 integral0^1 1x + 2 , dx

Passo 11

Agora, vamos integrar cada parte. A integral de $ \frac{1}{x + a} $ em relação a $ x $ é $ \ln|x + a| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Aplicando isso:
1x + a
x

Passo 12

Calculando as integrais nos limites de 0 a 1:
Para a primeira parte:
-ln(1 + 1) + ln(0 + 1) = -ln(2) + ln(1) = -ln(2) + 0 = -ln(2)
Para a segunda parte:
2[ln(1 + 2) - ln(0 + 2)] = 2[ln(3) - ln(2)] = 2ln(32)

Passo 13

Agora, juntando as duas partes:
I = -ln(2) + 2ln(32)
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
I = 2ln(32) - ln(2) = ln((32)^2) - ln(2) = ln(94) - ln(2) = ln(98)

Resposta

O valor da integral é $ I = \ln\left(\frac{9}{8}\right) $.

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