Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral definida $ I = \int_{0}^{1} \frac{x , dx}{x^{2} + 3x + 2} $. Isso envolve cálculo integral, mais especificamente, técnicas de integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar frações racionais usando frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador $ x^{2} + 3x + 2 $. Para facilitar a integração, é legal ver se conseguimos fatorar esse polinômio. Fatorar significa escrever o polinômio como um produto de dois fatores mais simples.
Passo 3
Fatorando o denominador $ x^{2} + 3x + 2 $, buscamos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão 3. Esses números são 1 e 2. Então:
Passo 4
Agora que o denominador está fatorado, nossa integral fica:
Para resolver essa fração, vamos usar o método das frações parciais. Isso significa que queremos escrever $ \frac{x}{(x + 1)(x + 2)} $ como uma soma de duas frações mais simples.
Passo 5
Vamos supor que:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $ e $ B $.
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por $ (x + 1)(x + 2) $ para eliminar os denominadores, temos:
Expanda o lado direito:
Juntando os termos semelhantes:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Para os termos com $ x $:
Para os termos constantes:
Passo 8
Temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Substituindo $ A = -1 $ na primeira equação:
Passo 9
Agora que encontramos $ A = -1 $ e $ B = 2 $, podemos reescrever a fração original:
Passo 10
Voltando à nossa integral, temos:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 11
Agora, vamos integrar cada parte. A integral de $ \frac{1}{x + a} $ em relação a $ x $ é $ \ln|x + a| + C $, onde $ C $ é a constante de integração.
Aplicando isso:
Passo 12
Calculando as integrais nos limites de 0 a 1:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 13
Agora, juntando as duas partes:
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
Resposta
O valor da integral é $ I = \ln\left(\frac{9}{8}\right) $.