Exercício 1 [25 pontos]: Use o teorema de Stokes encontrar o valor de
, onde
e
é a curva obtida como interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
- Campo vetorial
dado por
-
Curva
é a interseção do cilindro com o plano . Ou seja, é uma curva fechada que fica sobre o plano e tem projeção no plano sendo o círculo de raio . -
A orientação de
é “no sentido anti-horário” (vou interpretar isso como anti-horário quando vista do eixo ; isso é o sentido padrão em muitos exercícios — explicito essa escolha para manter a coerência com a aplicação do teorema). -
O que se pede: calcular
.
Passo 2
Vou usar o Teorema de Stokes. Vou explicar o que ele diz e por que é útil aqui.
- Enunciado do Teorema de Stokes (forma prática que vamos usar): se
é uma superfície orientada com bordo e é a normal escolhida em , então
Isto transforma a integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional (curl) de
.
- Intuição rápida do que é
: é um campo vetorial que mede a tendência de giro local do campo . A fórmula prática para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas é
onde
.
Aplicando isso ao nosso campo:
,
,
.
-
Calcular cada derivada parcial com calma:
-
-
Substituindo na fórmula do rotacional:
Portanto
Passo 3
Agora escolho a superfície
cujo bordo é exatamente
. A escolha mais natural é a parte do plano
que está dentro do cilindro
— isso é um disco plano inclinado. Usar essa superfície facilita porque podemos parametrizar por projeção no plano
.
- Descrever a superfície como gráfico: resolvendo para
,
Assim
pode ser vista como o gráfico de
sobre a região
.
- Vetor elemento de superfície orientado: para um gráfico
vale a fórmula
onde
é o elemento de área no plano
. Aqui
e
. Então
Isto significa que o vetor
representa o elemento de superfície com a orientação cuja componente
é positiva (ou seja, normal com componente positiva em
). Essa escolha de normal corresponde à orientação de bordo que é anti-horária quando vista do eixo
, justamente o sentido pedido no enunciado — portanto a orientação está consistente.
Passo 4
Aplicar o Teorema de Stokes: transformar a integral de linha em integral de superfície
Usando a expressão do elemento de superfície:
- Calcular o produto escalar
:
- Substituir
(pois estamos na parte do plano) para obter o integrando em termos de :
Portanto a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco
:
Passo 5
Avaliar a integral dupla
, onde
é o disco unitário
.
- Separar em três integrais:
-
Primeiro termo:
-
Segundo termo:
por simetria, porque o disco é simétrico em relação ao eixo e a função é ímpar nessa simetria. (Para reforçar, em coordenadas polares e a integral seria vezes um fator radial, que dá zero.) -
Terceiro termo:
por simetria análoga (simetria em relação ao eixo ). -
Assim