Exercício 1 [25 pontos]: Use o teorema de Stokes encontrar o valor de \int_{C} F \cdot d \boldsymbol{r}, onde \boldsymbol{F}(x, y, z)=\left(y z+x^{3}, 2 x z+3 y^{2}, x y+4\right) e C é a curva obtida como interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=1 com o plano x+y+z=1, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que temos e o que é pedido):
  • Campo vetorial \boldsymbol{F} dado por
\boldsymbol{F}(x,y,z)=\bigl(y z+x^{3},\;2 x z+3 y^{2},\;x y+4\bigr).
  • Curva C é a interseção do cilindro \;x^{2}+y^{2}=1\; com o plano \;x+y+z=1\;. Ou seja, C é uma curva fechada que fica sobre o plano e tem projeção no plano xy sendo o círculo de raio 1.
  • A orientação de C é “no sentido anti-horário” (vou interpretar isso como anti-horário quando vista do eixo +z; isso é o sentido padrão em muitos exercícios — explicito essa escolha para manter a coerência com a aplicação do teorema).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}.

Passo 2

Vou usar o Teorema de Stokes. Vou explicar o que ele diz e por que é útil aqui.
  • Enunciado do Teorema de Stokes (forma prática que vamos usar): se S é uma superfície orientada com bordo \partial S=C e \boldsymbol{n} é a normal escolhida em S, então
\int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\iint_{S}\bigl(\nabla\times\boldsymbol{F}\bigr)\cdot\boldsymbol{n}\,dS.
Isto transforma a integral de linha fechada numa integral de superfície do rotacional (curl) de \boldsymbol{F}.
  • Intuição rápida do que é \nabla\times\boldsymbol{F}: é um campo vetorial que mede a tendência de giro local do campo \boldsymbol{F}. A fórmula prática para calcular o rotacional em coordenadas cartesianas é
\nabla\times\boldsymbol{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),
onde \boldsymbol{F}=(P,Q,R).
Aplicando isso ao nosso campo: P=y z+x^{3}, Q=2 x z+3 y^{2}, R=x y+4.
  • Calcular cada derivada parcial com calma:
    • \dfrac{\partial R}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y+4)=x.
    • \dfrac{\partial Q}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(2 x z+3 y^{2})=2x.
    • \dfrac{\partial P}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(y z+x^{3})=y.
    • \dfrac{\partial R}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x y+4)=y.
    • \dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(2 x z+3 y^{2})=2z.
    • \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y z+x^{3})=z.
  • Substituindo na fórmula do rotacional:
\nabla\times\boldsymbol{F}=\bigl(x-2x,\;y-y,\;2z-z\bigr)=\bigl(-x,\;0,\;z\bigr).
Portanto
\nabla\times\boldsymbol{F}=(-x,0,z).

Passo 3

Agora escolho a superfície S cujo bordo é exatamente C. A escolha mais natural é a parte do plano \;x+y+z=1\; que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}\le1 — isso é um disco plano inclinado. Usar essa superfície facilita porque podemos parametrizar por projeção no plano xy.
  • Descrever a superfície como gráfico: resolvendo para z,
z=1-x-y.
Assim S pode ser vista como o gráfico de g(x,y)=1-x-y sobre a região D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.
  • Vetor elemento de superfície orientado: para um gráfico z=g(x,y) vale a fórmula
\boldsymbol{n}\,dS=(-g_x,\,-g_y,\,1)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. Aqui g_x=\partial_x(1-x-y)=-1 e g_y=-1. Então
(-g_x,-g_y,1)=(1,1,1).
Isto significa que o vetor (1,1,1)\,dA representa o elemento de superfície com a orientação cuja componente z é positiva (ou seja, normal com componente positiva em z). Essa escolha de normal corresponde à orientação de bordo que é anti-horária quando vista do eixo +z, justamente o sentido pedido no enunciado — portanto a orientação está consistente.

Passo 4

Aplicar o Teorema de Stokes: transformar a integral de linha em integral de superfície
\int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\iint_{S}\bigl(\nabla\times\boldsymbol{F}\bigr)\cdot\boldsymbol{n}\,dS.
Usando a expressão do elemento de superfície:
\iint_{S}\bigl(\nabla\times\boldsymbol{F}\bigr)\cdot\boldsymbol{n}\,dS =\iint_{D}\bigl(\nabla\times\boldsymbol{F}\bigr)\cdot(1,1,1)\,dA.
  • Calcular o produto escalar (\nabla\times\boldsymbol{F})\cdot(1,1,1):
(-x,0,z)\cdot(1,1,1)=-x+0+z=z-x.
  • Substituir z=1-x-y (pois estamos na parte do plano) para obter o integrando em termos de x,y:
z-x=(1-x-y)-x=1-2x-y.
Portanto a integral de linha vira a integral dupla sobre o disco D:
\int_{C}\boldsymbol{F}\cdot d\boldsymbol{r}=\iint_{D}\bigl(1-2x-y\bigr)\,dA.

Passo 5

Avaliar a integral dupla \iint_{D}(1-2x-y)\,dA, onde D é o disco unitário x^{2}+y^{2}\le1.
  • Separar em três integrais:
\iint_{D}1\,dA-2\iint_{D}x\,dA-\iint_{D}y\,dA.
  • Primeiro termo: \iint_{D}1\,dA=\text{Área}(D)=\pi\cdot1^{2}=\pi.Á
  • Segundo termo: \iint_{D}x\,dA=0 por simetria, porque o disco é simétrico em relação ao eixo y e a função x é ímpar nessa simetria. (Para reforçar, em coordenadas polares x=r\cos\theta e a integral seria \int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta vezes um fator radial, que dá zero.)
  • Terceiro termo: \iint_{D}y\,dA=0 por simetria análoga (simetria em relação ao eixo x).
  • Assim
\iint_{D}\bigl(1-2x-y\bigr)\,dA=\pi-2\cdot0-0=\pi.

Resposta

\pi

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