Exercício 29 (Ponto de interseção de duas retas) Considere-se fixado no espaço tridimensional um sistema ortonormal ( O ; imath, jmath, k ) de coordenadas cartesianas. Determinar, se existir, as coordenadas do ponto M de interseção das retas (R1) e ( R2) com as respectivas representação paramétrica e através de um sistema de equações lineares,
(R1):l x=3+2 t y=-1-t z=4+3 t (t in R) ; (R2):r x+3 y=4 5 y+z=7

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção de duas retas em R^3:
(R1) está em forma paramétrica
(R2) está como interseção de dois planos ( x+3y=4 e 5y+z=7).
Conteúdo: geometria analítica espacial e método de substituição de coordenadas paramétricas numa reta cartesiana para achar pontos comuns.

Passo 2

Substituímos a paramétrica de (R1),
x=3+2t, y=-1-t, z=4+3t,
na primeira equação de (R2), x+3y=4:
(3+2t)+3(-1-t)=4
Isso dá
3+2t-3-3t=4Longrightarrow -t=4Longrightarrow t=-4

Passo 3

Agora substituímos a mesma parametrização na segunda equação de (R2), 5y+z=7:
5(-1-t)+(4+3t)=7
Isso leva a
-5-5t+4+3t=7Longrightarrow -1-2t=7Longrightarrow -2t=8Longrightarrow t=-4

Passo 4

Como ambas as equações fornecem o mesmo valor t=-4, existe interseção única entre as retas.

Passo 5

Para t=-4, calculamos as coordenadas de M em (R1):
x=3+2(-4)=-5, y=-1-(-4)=3, z=4+3(-4)=-8

Resposta

O ponto de interseção é
M(-5,,3,,-8)

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