Exercício 29 (Ponto de interseção de duas retas) Considere-se fixado no espaço tridimensional um sistema ortonormal ( ) de coordenadas cartesianas. Determinar, se existir, as coordenadas do ponto de interseção das retas e ( com as respectivas representação paramétrica e através de um sistema de equações lineares,
Passo 1
O enunciado pede o ponto de interseção de duas retas em R^3:
– (R1) está em forma paramétrica
– (R2) está como interseção de dois planos (x+3y=4 e 5y+z=7).
Conteúdo: geometria analítica espacial e método de substituição de coordenadas paramétricas numa reta cartesiana para achar pontos comuns.
Passo 2
Substituímos a paramétrica de (R1),
x=3+2t, y=-1-t, z=4+3t,
na primeira equação de (R2), x+3y=4:
(3+2t)+3(-1-t)=4
Isso dá
3+2t-3-3t=4Longrightarrow -t=4Longrightarrow t=-4
Passo 3
Agora substituímos a mesma parametrização na segunda equação de (R2), 5y+z=7: