Exercício 27 (Equações de planos e de retas) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas.
27.3 Determinar um sistema de equações cartesianas que definem a reta (R) com representação paramétrica
(R):lx=5+4 t y=1+3 t z=3+t (t in R).

Passo 1

O enunciado dá a reta
e pede as equações cartesianas dessa reta. O conteúdo envolvido é a passagem da representação paramétrica de uma reta em (\mathbb{R}^3] para sua forma simétrica ou cartesianas, usando o vetor diretor e um ponto conhecido.

Passo 2

Da forma paramétrica extraímos imediatamente
– um ponto da reta, por exemplo
A = (5,,1,,3),
– e o vetor diretor
vec v = (4,,3,,1)
Em geral, se vec v = (a,b,c) e a reta passa por A=(x0,y0,z0), podemos escrever as equações simétricas
x - x0a ;=;y - y0b;=;z - z0c

Passo 3

Aqui a=4, b=3, c=1 e (x0,y0,z0)=(5,1,3). Assim obtemos as equações cartesianas (forma simétrica) da reta:
x - 54 ;=;y - 13;=;z - 31

Resposta

x - 54 = y - 13 = z - 31

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