Exercício 25. Seja X uma variável aleatória com função de distribuição dada por
F(x)=cc 0 & se x<0 log x & se 1 <= x= e
(a) Prove que de fato F é uma função de distribuição.
(b) Explique por que X é contínua e obtenha a densidade de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma função de distribuição F(x) definida por
F(x)= 0, & x<0, ln x, & 1<= x= e
Ele pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que isso é de fato uma função de distribuição (ou seja, um CDF): temos de checar que ela fica entre 0 e 1, é não decrescente, é contínua pela direita e atinge 0 e 1 nos limites.
  • (b) Dizer por que a variável aleatória é contínua e obter sua densidade .
O conteúdo que vamos usar é teoria de funções de distribuição (CDFs) e a relação entre CDF contínua e sua densidade via derivada.

Passo 2

(a) Provar que é uma CDF
  1. Limites nos extremos:
    • Quando , cai na parte “ ”, logo .
    • Quando , cai em “ ”, logo .
  2. Valores entre 0 e 1:
    • Para , .
    • Para , , e varia de até .
    • Para , .
      Então sempre.
  3. Não decrescência:
    • Em , é constante .
    • Em , é crescente.
    • Em , é constante .
      Não há queda em nenhum ponto.
  4. Continuidade pela direita:
    • Em pontos de borda ( ), você vê que de um lado de cada ponto o valor de ao se aproximar da direita bate com o valor ali definido.
      Por exemplo, em , para (pela direita) tenho , que é exatamente o valor em . O mesmo raciocínio em .
Conclusão: essas quatro propriedades são exatamente as que definem uma CDF válida.

Passo 3

(b) Por que é contínua
Uma variável é contínua se sua CDF não tiver saltos (discontinuidades do tipo “pulo”). Aqui vimos que em todo ponto é contínua pela direita e não há saltos (todos os valores encaixam direitinho), então não há probabilidade em pontos isolados. Logo é contínua.

Passo 4

(b) Obtendo a densidade f(x)=F'(x)
Quando uma CDF é diferenciável em intervalos, a densidade é simplesmente
f(x)=ddxln x=1x
Vamos derivar em cada região:
  • Para integral-infty^+inftyf(x),dx =integral1^e1x,dx =[ln x]1^e =ln e-ln1 =1-0 =1 (na prática aqui vale para e para , mas é constante igual a 0), temos .
  • Para , , então
  • Para , é constante 1, logo .
Só falta checar se essa função integra 1:
Perfeito!

Resposta

A densidade de f(x)= dfrac1x, & 1<= x<= e, 0, & caso contrário é
á

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