Exercício 0.27 Sejam a, b \in \mathbb{Z}. Mostre que se a e b são ímpares, então a.b é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para provar que o produto de dois inteiros ímpares é ímpar. Conteúdo: definição de número ímpar. Vamos usar a ideia de expressar cada ímpar como 2n+1.

Passo 2

Como a é ímpar, existe k\in\mathbb{Z} tal que
a = 2k + 1.
Como b é ímpar, existe m\in\mathbb{Z} tal que
b = 2m + 1.

Passo 3

Multiplicando as duas expressões, temos
a \cdot b = (2k+1)(2m+1) = 4km + 2k + 2m + 1.

Passo 4

Fatorando 2 nos três primeiros termos,
4km + 2k + 2m + 1 = 2(2km + k + m) + 1.
Como 2km + k + m é inteiro, a\cdot b está na forma 2q+1, com q=2km + k + m, logo é ímpar.

Resposta

a\cdot b é ímpar.

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