Exercício 31. Sejam a reta r e o plano \Pi dados por
r:\left\{\begin{array}{l}y=2 x-3 \\\ z=-x+2\end{array} \quad \text { e } \quad \Pi: 2 x+4 y-z-4=0\right.
Determinar:
equações da reta interseção de \Pi com o plano x z.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano
\Pi: 2x + 4y - z - 4 = 0
e pede a reta de interseção de \Pi com o plano xz. Vamos lembrar que a interseção de dois planos é, em geral, uma reta, e para encontrá-la basta resolver o sistema formado pelas equações dos dois planos.

Passo 2

O plano xz é caracterizado por
y = 0.

Passo 3

Para achar a interseção, substituímos y=0 na equação de \Pi:
2x + 4\cdot 0 - z - 4 = 0
que simplifica para
2x - z - 4 = 0.

Passo 4

Isolando z em função de x, obtemos
z = 2x - 4.
Portanto, todo ponto da reta de interseção pode ser escrito como (x,0,2x-4).

Passo 5

Escolhendo o parâmetro t = x\), as equações paramétricas da reta são \[\begin{cases} x = t,\\\ y = 0,\\\ z = 2t - 4. \end{cases}
Em forma simétrica, como (y=0], basta escrever
\frac{x}{1} \;=\;\frac{z+4}{2},\quad y=0.

Resposta

\text{Equações paramétricas: } \begin{cases} x = t,\\\ y = 0,\\\ z = 2t - 4. \end{cases}çõé
ou
\text{Forma simétrica: } \frac{x}{1} = \frac{z + 4}{2},\quad y = 0.é

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