onde r(u,v) é uma parametrização de S, r_u e r_v são derivadas parciais, e \lVert r_u\times r_v\rVert dá o elemento de área. A parametrização esférica é natural aqui porque S é uma esfera unitária; isso simplifica muito o cálculo do elemento de área.
Passo 3
Explico a fórmula que vou usar (passo-a-passo didático):
Se S é dada por uma parametrização r(u,v) definida num domínio D do plano (u,v), então cada ponto de S é r(u,v).
As derivadas parciais r_u e r_v fornecem vetores tangentes; o produto vetorial r_u\times r_v é um vetor normal cuja magnitude é a área do paralelogramo tangente, e portanto \lVert r_u\times r_v\rVert é o fator que converte du\,dv em área sobre S.
Assim, para f função escalar definida em S, a integral de superfície é a integral dupla de f(r(u,v)) vezes esse fator \lVert r_u\times r_v\rVert.
Passo 4
Parametrização da esfera unitária usando coordenadas esféricas (ângulos \varphi e \theta):
\int_{S}(x-y+z)\,d s =\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(\sin\varphi\cos\theta-\sin\varphi\sin\theta+\cos\varphi\bigr)\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Somando os contributions: o termo de x dá 0, o de y dá 0, e o de z dá -\pi. Logo a integral total é -\pi. Boa notícia: apesar de parecer complicado, a simetria do problema eliminou dois termos e sobramos com uma integral simples em \varphi.