Exercício 28. Calcule \int_{S}(x-y+z) d s, onde S=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \leq 0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral de superfície
\int_{S}(x-y+z)\,d s,
onde S é a metade da esfera unitária com z\le 0, isto é
S=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1,\\ z\le 0\}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A superfície S é a hemisfera inferior da esfera de raio 1.
  • A função a integrar sobre S é f(x,y,z)=x-y+z.
  • A medida de superfície é d s (elemento de área sobre S).
    Nenhuma figura adicional foi fornecida, mas a descrição da hemisfera é suficiente.

Passo 2

Vou usar a parametrização esférica da superfície e a fórmula padrão para integrais de funções escalares sobre superfícies parametrizadas:
\int_{S} f\,d s=\iint_{D} f(r(u,v))\,\bigl\lVert r_{u}\times r_{v}\bigr\rVert\,du\,dv,
onde r(u,v) é uma parametrização de S, r_u e r_v são derivadas parciais, e \lVert r_u\times r_v\rVert dá o elemento de área. A parametrização esférica é natural aqui porque S é uma esfera unitária; isso simplifica muito o cálculo do elemento de área.

Passo 3

Explico a fórmula que vou usar (passo-a-passo didático):
  • Se S é dada por uma parametrização r(u,v) definida num domínio D do plano (u,v), então cada ponto de S é r(u,v).
  • As derivadas parciais r_u e r_v fornecem vetores tangentes; o produto vetorial r_u\times r_v é um vetor normal cuja magnitude é a área do paralelogramo tangente, e portanto \lVert r_u\times r_v\rVert é o fator que converte du\,dv em área sobre S.
  • Assim, para f função escalar definida em S, a integral de superfície é a integral dupla de f(r(u,v)) vezes esse fator \lVert r_u\times r_v\rVert.

Passo 4

Parametrização da esfera unitária usando coordenadas esféricas (ângulos \varphi e \theta):
r(\varphi,\theta)=\bigl(\sin\varphi\cos\theta,\\ \sin\varphi\sin\theta,\\ \cos\varphi\bigr),
com \theta representando o ângulo azimutal em [0,2\pi] e \varphi o ângulo polar medido a partir do eixo +z. Para a hemisfera inferior temos
\varphi\in\bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr],\qquad \theta\in[0,2\pi].
Agora calculo r_{\varphi} e r_{\theta}:
r_{\varphi}=(\cos\varphi\cos\theta,\\ \cos\varphi\sin\theta,\\\ -\sin\varphi),
r_{\theta}=(-\sin\varphi\sin\theta,\\ \sin\varphi\cos\theta,\\\ 0).
O produto vetorial tem norma (pode-se calcular explicitamente ou usar resultado conhecido para esfera unitária)
\bigl\lVert r_{\varphi}\times r_{\theta}\bigr\rVert=\sin\varphi.
Portanto o elemento de área é \sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Substituo a parametrização na integral. A função f(x,y,z)=x-y+z em termos de (\varphi,\theta) fica
f(r(\varphi,\theta))=\sin\varphi\cos\theta-\sin\varphi\sin\theta+\cos\varphi.
Assim a integral sobre S é
\int_{S}(x-y+z)\,d s =\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(\sin\varphi\cos\theta-\sin\varphi\sin\theta+\cos\varphi\bigr)\,\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Faço a separação dos termos e analiso cada um:
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\sin\varphi\cos\theta\cdot\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta \;=\;\int_{\pi/2}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\;\cdot\;\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta.
Como
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\,d\theta=0,
o termo envolvendo x (o termo com \cos\theta) contribui zero. De modo análogo,
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\bigl(-\sin\varphi\sin\theta\bigr)\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta \;=\;- \int_{\pi/2}^{\pi}\sin^{2}\varphi\,d\varphi\;\cdot\;\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta,
e
\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta=0,
logo o termo envolvendo y também é zero. Assim sobram apenas os termos com z.

Passo 7

Calculo agora o termo com z:
\int_{0}^{2\pi}\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\cdot\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =\Biggl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Biggr)\Biggl(\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi\Biggr).
A integral em \theta é 2\pi. Para a integral em \varphi uso a identidade
\cos\varphi\sin\varphi=\tfrac{1}{2}\,\frac{d}{d\varphi}\bigl(\sin^{2}\varphi\bigr).
Portanto
\int_{\pi/2}^{\pi}\cos\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\tfrac{1}{2}\bigl[\sin^{2}\varphi\bigr]_{\varphi=\pi/2}^{\varphi=\pi} =\tfrac{1}{2}\bigl(\sin^{2}\pi-\sin^{2}(\tfrac{\pi}{2})\bigr) =\tfrac{1}{2}\bigl(0-1\bigr)=-\tfrac{1}{2}.
Multiplicando por 2\pi obtemos
2\pi\cdot\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=-\pi.

Passo 8

Somando os contributions: o termo de x 0, o de y 0, e o de z -\pi. Logo a integral total é -\pi. Boa notícia: apesar de parecer complicado, a simetria do problema eliminou dois termos e sobramos com uma integral simples em \varphi.

Resposta

-\pi

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