(1,0 ponto)
Calcule y^{\prime \prime}, onde y é dado por y=\cos \left(3 x^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y, onde
y = \cos\!\bigl(3x^{2}+1\bigr).
O conteúdo principal aqui é a derivação de função composta usando a regra da cadeia e, no segundo passo, também a regra do produto.

Passo 2

Calcular a primeira derivada y'. Seja u(x)=3x^{2}+1, então y=\cos(u). Pela regra da cadeia:
y' = \frac{dy}{dx} = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\,\frac{du}{dx} = -\sin\bigl(3x^{2}+1\bigr)\cdot (6x) = -6x\sin\bigl(3x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Calcular a segunda derivada y'' derivando
y' = -6x\sin\bigl(3x^{2}+1\bigr).
Aplicando a regra do produto em -6x e \sin(3x^2+1), e a regra da cadeia dentro de \sin:
y'' = \frac{d}{dx}\bigl(-6x\sin(3x^2+1)\bigr) = -6\,\sin(3x^2+1) -6x\cdot\cos(3x^2+1)\cdot\frac{d}{dx}(3x^2+1) = -6\sin(3x^2+1) -6x\cos(3x^2+1)\cdot 6x = -6\sin(3x^2+1) -36x^2\cos(3x^2+1).

Resposta

y'' = -6\sin\bigl(3x^{2}+1\bigr)\;-\;36x^{2}\cos\bigl(3x^{2}+1\bigr).

Exercícios relacionados