(1,0 ponto)
Calcule a derivada da função f(x)=-4 \sqrt[5]{x}+\frac{x^{2}-2}{2 x-1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x) = -4\sqrt[5]{x} + \frac{x^{2}-2}{2x-1}.
O conteúdo envolvido é diferenciação: vamos aplicar a regra da potência para -4\sqrt[5]{x} e a regra do quociente para \frac{x^{2}-2}{2x-1}.

Passo 2

Para -4\sqrt[5]{x} = -4x^{1/5}, usamos a regra da potência:
seja u(x)=x^{1/5}, então
u'(x) = \frac{1}{5}x^{-4/5}.
Multiplicando por -4, obtemos
\bigl(-4x^{1/5}\bigr)' = -4\cdot\frac{1}{5}x^{-4/5} = -\frac{4}{5}x^{-4/5}.

Passo 3

Para \frac{x^{2}-2}{2x-1}, chame
g(x) = x^{2}-2,\quad h(x)=2x-1.
Então g'(x)=2x e h'(x)=2. A regra do quociente diz
\Bigl(\frac{g}{h}\Bigr)' = \frac{g'h - gh'}{h^{2}}.
Substituindo,
\bigl(\tfrac{x^{2}-2}{2x-1}\bigr)' = \frac{2x\,(2x-1) - (x^{2}-2)\cdot2}{(2x-1)^{2}} = \frac{4x^{2} - 2x - 2x^{2} + 4}{(2x-1)^{2}} = \frac{2x^{2} - 2x + 4}{(2x-1)^{2}}.

Passo 4

Somando as duas derivadas, concluímos que
f'(x) = -\frac{4}{5}x^{-4/5} \;+\;\frac{2x^{2}-2x+4}{(2x-1)^{2}}.

Resposta

f'(x) = -\frac{4}{5}x^{-4/5} + \frac{2x^{2} - 2x + 4}{(2x-1)^{2}}.

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