A fim de mensurar a quantidade confeccionada de determinado produto a partir dos seus gastos, é proposto um modelo de produção conhecido como modelo Cobb-Douglas, onde a quantidade
de unidades do produto seria dada por
Aqui,
é uma constante de proporcionalidade,
e
também são constantes, de modo que
e
. Le
são as variáveis, sendo
as unidades com que se gasta em trabalho humano, e
as unidades com que se gasta em equipamento e estrutura. É de interesse especial quando
. Consideremos o modelo de produção em que, para certo produto,
Se por unidade de trabalho humano se gasta
50,00
\mathrm{R} $100,00
\mathrm{R} $ 200.000,00
L
K
K
L
P
P$ nestas condições (aproximar com a calculadora)?
Passo 1
O enunciado apresenta um modelo Cobb-Douglas de produção
e impõe a restrição orçamentária
Queremos encontrar
e
que maximizem
sob essa restrição. O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange aplicado a funções de duas variáveis com restrição.
Passo 2
Escrevemos a função objetivo em forma logarítmica para simplificar as derivadas, pois maximizar
é equivalente a maximizar
A restrição é
Passo 3
Montamos o Lagrangeano
As condições de primeira ordem são
além de
Passo 4
Das duas primeiras equações isolamos
:
Igualando-as,
Passo 5
Da relação
e da restrição orçamentária,
Logo
Passo 6
Agora calculamos o valor máximo de
:
Aproximando com calculadora: