A fim de mensurar a quantidade confeccionada de determinado produto a partir dos seus gastos, é proposto um modelo de produção conhecido como modelo Cobb-Douglas, onde a quantidade P de unidades do produto seria dada por
P=c L^{\alpha} K^{\beta}
Aqui, c é uma constante de proporcionalidade, \alpha e \beta também são constantes, de modo que 0<\alpha<1 e 0<\beta<1. Le K são as variáveis, sendo L as unidades com que se gasta em trabalho humano, e K as unidades com que se gasta em equipamento e estrutura. É de interesse especial quando \alpha+\beta=1. Consideremos o modelo de produção em que, para certo produto,
P=1000 L^{0,6} K^{0,4}
Se por unidade de trabalho humano se gasta \mathrm{R} \ 50,00 , e por unidade com equipamento se gasta\mathrm{R} $100,00 , se o orçamento total para a produção será deççãá\mathrm{R} $ 200.000,00 , então quais deverão ser as quantidadesããL eK para se otimizar a produção? (Isto é, com queçãéK eL , nesta restrição de orçamento, se atinge o máximo deçãçáP ) E de quanto é este valor máximo deéáP$ nestas condições (aproximar com a calculadora)?

Passo 1

O enunciado apresenta um modelo Cobb-Douglas de produção
P = 1000\,L^{0,6}\,K^{0,4}
e impõe a restrição orçamentária
50\,L + 100\,K = 200\,000.
Queremos encontrar L e K que maximizem P sob essa restrição. O método que vamos usar é o dos multiplicadores de Lagrange aplicado a funções de duas variáveis com restrição.

Passo 2

Escrevemos a função objetivo em forma logarítmica para simplificar as derivadas, pois maximizar P é equivalente a maximizar
g(L,K) = \ln P = \ln 1000 + 0,6\,\ln L + 0,4\,\ln K.
A restrição é
h(L,K) = 50\,L + 100\,K - 200\,000 = 0.

Passo 3

Montamos o Lagrangeano
\mathcal{L}(L,K,\lambda) = 0,6\,\ln L + 0,4\,\ln K - \lambda\,(50\,L + 100\,K - 200\,000).
As condições de primeira ordem são
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial L}: \frac{0,6}{L} - \lambda\cdot 50 = 0, \qquad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial K}: \frac{0,4}{K} - \lambda\cdot 100 = 0,
além de
50\,L + 100\,K = 200\,000.

Passo 4

Das duas primeiras equações isolamos \lambda:
\lambda = \frac{0,6}{50\,L}, \qquad \lambda = \frac{0,4}{100\,K}.
Igualando-as,
\frac{0,6}{50\,L} = \frac{0,4}{100\,K} \quad\Longrightarrow\quad \frac{0,6}{0,4}\,\frac{K}{L} = \frac{50}{100} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}\,\frac{K}{L} = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad \frac{K}{L} = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Da relação K = \tfrac{1}{3}L e da restrição orçamentária,
50\,L + 100\,(L/3) = 200\,000 \quad\Longrightarrow\quad 50\,L + \tfrac{100}{3}L = 200\,000 \quad\Longrightarrow\quad 250\,L = 600\,000 \quad\Longrightarrow\quad L = 2\,400.
Logo
K = \tfrac{1}{3}\,L = 800.

Passo 6

Agora calculamos o valor máximo de P:
P_{\max} = 1000\,(2400)^{0,6}\,(800)^{0,4}.
Aproximando com calculadora:
(2400)^{0,6}\approx 106{,}8, \quad (800)^{0,4}\approx 14{,}5 \quad\Longrightarrow\quad P_{\max}\approx 1000 \times 106{,}8 \times 14{,}5 \approx 1{,}55\times 10^{6}.

Resposta

L = 2400, K = 800
P_{\max} \approx 1{,}55\times 10^{6} unidades.

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