Exercício 29 - (UDESC, 2017) Considere os valores de x pertencentes ao conjunto S=x in R mid x>-4. Associe cada uma das funções f(x) com x in S, exibidas na coluna A com as suas respectivas inversas, exibidas na coluna B.

Coluna A

(1) f(x)=log 2 raiz[4]x+4
( ) f^-1(x)=(raiz2)^x+4-4
(2) f(x)=2 log 2(x+44)
(3) f(x)=log 4(2 x+8)
( ) f^-1(x)=2^2 x-1-4
( ) f^-1(x)=2^4 x-4
Assinale a alternativa que contém a sequência CORRETA de classificação, de cima para baixo.
a) 3-1-2
b) 2-1-3
c) 1-3-2
d) 3-2-1
e) 2-3-1

Passo 1

Temos três funções definidas em S=xinRmid x>-4 e queremos encontrar suas inversas. O método é sempre o mesmo: escrever y=f(x), trocar x por y e vice-versa, e resolver para y.

Passo 2

Invertemos
f1(x)=log2raiz[4]x+4
Escrevendo y=log2(x+4)^1/4 temos
4y=log2(x+4) Longrightarrow x+4=2^4y Longrightarrow x=2^4y-4
Trocando x por y
f1^-1(x)=2^4x-4

Passo 3

Invertemos
f2(x)=2log2!gl(x+44gr)
Escrevendo y=2l[log2(x+4)-log24r]=2log2(x+4)-4 temos
y2=log2!l(tfracx+44r) Longrightarrow x+44=2^,y/2 Longrightarrow x+4=4cdot2^,y/2 =2^,y/2+2
Longrightarrow x=2^,y/2+2-4
Trocando x por y
f2^-1(x)=2^,x/2+2-4 ;=;(raiz2)^,x+4-4

Passo 4

Invertemos
f3(x)=log4(2x+8)
Escrevendo y=log4l(2(x+4)r) temos
4^y=2(x+4) Longrightarrow 2^2y=2x+8 Longrightarrow x+4=2^2y-1 Longrightarrow x=2^2y-1-4
Trocando x por y
f3^-1(x)=2^,2x-1-4

Passo 5

Agora associamos cada inversa (coluna B) à função original (coluna A):
– Para (1) veio f1^-1(x)=2^4x-4, que é a terceira opção de B.
– Para (2) veio f2^-1(x)=(raiz2)^,x+4-4, que é a primeira opção de B.
– Para (3) veio f3^-1(x)=2^2x-1-4, que é a segunda opção de B.
Portanto, a sequência é 3 – 1 – 2.

Resposta

a) 3-1-2

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