Exercício 7. Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{3}-2 x^{2}-4 x+8}{x^{4}-8 x^{2}+16}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to2}\frac{x^{3}-2x^{2}-4x+8}{x^{4}-8x^{2}+16}.
Note que substituindo x=2 tanto o numerador quanto o denominador dão zero, ou seja, temos forma indeterminada 0/0. Vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos o numerador e o denominador:
x^{3}-2x^{2}-4x+8 = x^{2}(x-2)-4(x-2) = (x-2)(x^{2}-4) = (x-2)^{2}(x+2),
x^{4}-8x^{2}+16 = (x^{2})^{2}-8x^{2}+16 = (x^{2}-4)^{2} = (x-2)^{2}(x+2)^{2}.

Passo 3

Para x\neq2 podemos cancelar o fator (x-2)^{2}, obtendo
\frac{x^{3}-2x^{2}-4x+8}{x^{4}-8x^{2}+16} = \frac{(x-2)^{2}(x+2)}{(x-2)^{2}(x+2)^{2}} = \frac{1}{x+2}.

Passo 4

Agora basta tomar x\to2 na expressão simplificada:
\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

Exercícios relacionados