Exercício 30. Prove que:
\operatorname{sen} x=2 \operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right) \cos \left(\frac{x}{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
\operatorname{sen} x = 2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Informações dadas:
  • A expressão a ser demonstrada é uma igualdade entre funções trigonométricas para uma variável real x.
  • Não foi dada nenhuma condição extra sobre x, então o objetivo é mostrar que a igualdade vale para todo x real.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de adição para o seno. Primeiro eu explico essa fórmula de forma bem didática.
A fórmula de adição diz, para quaisquer ângulos a e b:
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b.
O que isso significa, em palavras simples: o seno da soma de dois ângulos é a soma de dois produtos envolvendo seno e cosseno dos ângulos separados. Cada termo combina uma componente “seno” de um ângulo com uma componente “cosseno” do outro.
Breve justificativa (intuição operacional, sem exigir figuras complexas): rotações no plano se combinam. A rotação de um vetor por a seguida de uma rotação por b é a rotação por a+b. Escrevendo a matriz de rotação
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt]\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix},
multiplicando R(a)R(b)=R(a+b) e comparando entradas obtém-se as fórmulas
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen}a\operatorname{sen}b, \qquad \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b.
Aqui cada símbolo significa:
  • \operatorname{sen}a é o seno do ângulo a;
  • \cos a é o cosseno do ângulo a;
  • a e b são quaisquer números reais que representam ângulos.]

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de adição com a=b=\dfrac{x}{2}. Substituindo na fórmula de adição para o seno:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right) = \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 4

No lado esquerdo temos \operatorname{sen}\!\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=\operatorname{sen}x. No lado direito há dois termos iguais, então somando-os obtemos o fator 2:
\operatorname{sen}x = \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) + \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right) = 2\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 5

Vamos checar com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): tome x=\dfrac{\pi}{3}.
\text{Lado esquerdo: }\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
\text{Lado direito: }2\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right) =2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Confere! Isso reforça que a identidade funciona.

Passo 6

Resumo do raciocínio para a prova na hora da prova (versão curta que vale a pena decorar):
  • Usar a fórmula de adição \operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen}a\cos b+\cos a\operatorname{sen}b.
  • Colocar a=b=\dfrac{x}{2}.
  • Simplificar e obter a identidade pedida.

Resposta

\operatorname{sen} x=2 \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right) \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)

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