Exercício 30. Prove que:
.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
Informações dadas:
- A expressão a ser demonstrada é uma igualdade entre funções trigonométricas para uma variável real
. - Não foi dada nenhuma condição extra sobre
, então o objetivo é mostrar que a igualdade vale para todo real.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de adição para o seno. Primeiro eu explico essa fórmula de forma bem didática.
A fórmula de adição diz, para quaisquer ângulos
e
:
O que isso significa, em palavras simples: o seno da soma de dois ângulos é a soma de dois produtos envolvendo seno e cosseno dos ângulos separados. Cada termo combina uma componente “seno” de um ângulo com uma componente “cosseno” do outro.
Breve justificativa (intuição operacional, sem exigir figuras complexas): rotações no plano se combinam. A rotação de um vetor por
seguida de uma rotação por
é a rotação por
. Escrevendo a matriz de rotação
multiplicando
e comparando entradas obtém-se as fórmulas
Aqui cada símbolo significa:
-
é o seno do ângulo ; -
é o cosseno do ângulo ; -
e são quaisquer números reais que representam ângulos.]
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula de adição com
. Substituindo na fórmula de adição para o seno:
Passo 4
No lado esquerdo temos
. No lado direito há dois termos iguais, então somando-os obtemos o fator
:
Passo 5
Vamos checar com um exemplo numérico (só para ganhar confiança): tome
.
Confere! Isso reforça que a identidade funciona.
Passo 6
Resumo do raciocínio para a prova na hora da prova (versão curta que vale a pena decorar):
- Usar a fórmula de adição
. - Colocar
. - Simplificar e obter a identidade pedida.