Q 69 Usando a definição de derivada, mostre que:
😉

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando definição de derivada, que se f(x)=sen(x) então
f'(x)=cos(x)
Vamos precisar da fórmula de adição para seno e dos limites trigonométricos básicos
limhto0sen(h)h=1 e limhto0cos(h)-1h=0.

Passo 2

Pela definição de derivada, temos
f'(x) =limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0sen(x+h)-sen(x)h

Passo 3

Aplicando a fórmula de adição de seno,
sen(x+h) =sen(x)cos(h)+cos(x)sen(h),
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sen(x+h)-sen(x) =sen(x)l(cos(h)-1r)+cos(x)sen(h)
Substituindo em f'(x),
f'(x) =limhto0sen(x)l(cos(h)-1r)+cos(x)sen(h)h

Passo 4

Separamos em dois limites lineares:
f'(x) =sen(x)limhto0cos(h)-1h +cos(x)limhto0sen(h)h

Passo 5

Usando os limites trigonométricos
limhto0cos(h)-1h=0, limhto0sen(h)h=1,
obtemos
f'(x) =sen(x)cdot 0+cos(x)cdot 1 =cos(x)

Resposta

f'(x)=cos(x)

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