Exercício 27. Determine a derivada de
, aplicando a regra da cadeia sucessivamente.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
dada por
Informações relevantes: a função é uma composição de funções (uma raiz quadrada aplicada a
), e o enunciado pede explicitamente que a regra da cadeia seja aplicada sucessivamente. O objetivo final é encontrar
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a raiz como potência para facilitar a aplicação das regras de derivação. Podemos escrever
Isto é útil porque a derivada de uma potência
é conhecida e combinável com a regra da cadeia.
Passo 3
Vou separar a composição em duas (na verdade três) funções para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Defino:
e
Então
. A regra da cadeia diz que, para
,
Também preciso da fórmula da derivada de
. Usando a regra da potência:
Aqui
é uma variável genérica; depois substituiremos
.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para a composição externa, obtemos
Agora falta achar
, isto é, a derivada da função interna
.
Passo 5
Calculo de
. A derivada de
é
. Para
aplico a regra da cadeia de novo: se
então
. Aqui
, logo
. Portanto
Somando as partes,
Passo 6
Substituo
em
e simplifico:
O
do numerador cancela com o
, ficando
Reescrevendo a potência negativa como raiz no denominador, obtenho a forma mais comum
Observação rápida: esta expressão está definida para todo
porque
e, portanto, o denominador nunca é zero.