Exercício 27. Determine a derivada de f(x)=\sqrt{1+e^{x^{2}}}, aplicando a regra da cadeia sucessivamente.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f dada por
f(x)=\sqrt{1+e^{x^{2}}}.
Informações relevantes: a função é uma composição de funções (uma raiz quadrada aplicada a 1+e^{x^{2}}), e o enunciado pede explicitamente que a regra da cadeia seja aplicada sucessivamente. O objetivo final é encontrar f'(x).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a raiz como potência para facilitar a aplicação das regras de derivação. Podemos escrever
f(x)=(1+e^{x^{2}})^{1/2}.
Isto é útil porque a derivada de uma potência u^{n} é conhecida e combinável com a regra da cadeia.

Passo 3

Vou separar a composição em duas (na verdade três) funções para aplicar a regra da cadeia passo a passo. Defino:
g(u)=u^{1/2}
e
h(x)=1+e^{x^{2}}.
Então f(x)=g(h(x)). A regra da cadeia diz que, para f(x)=g(h(x)),
f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).
Também preciso da fórmula da derivada de g(u)=u^{1/2}. Usando a regra da potência:
g'(u)=\frac{1}{2}u^{-1/2}.
Aqui u é uma variável genérica; depois substituiremos u=h(x).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para a composição externa, obtemos
f'(x)=\frac{1}{2}(1+e^{x^{2}})^{-1/2}\cdot h'(x).
Agora falta achar h'(x), isto é, a derivada da função interna h(x)=1+e^{x^{2}}.

Passo 5

Calculo de h'(x). A derivada de 1 é 0. Para e^{x^{2}} aplico a regra da cadeia de novo: se p(x)=e^{u(x)} então p'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x). Aqui u(x)=x^{2}, logo u'(x)=2x. Portanto
\frac{d}{dx}e^{x^{2}}=e^{x^{2}}\cdot 2x.
Somando as partes,
h'(x)=0+2x e^{x^{2}}=2x e^{x^{2}}.

Passo 6

Substituo h'(x) em f'(x) e simplifico:
f'(x)=\frac{1}{2}(1+e^{x^{2}})^{-1/2}\cdot 2x e^{x^{2}}.
O 2 do numerador cancela com o \tfrac{1}{2}, ficando
f'(x)=x e^{x^{2}}(1+e^{x^{2}})^{-1/2}.
Reescrevendo a potência negativa como raiz no denominador, obtenho a forma mais comum
f'(x)=\frac{x e^{x^{2}}}{\sqrt{1+e^{x^{2}}}}.
Observação rápida: esta expressão está definida para todo x\in\mathbb{R} porque e^{x^{2}}>0 e, portanto, o denominador nunca é zero.

Resposta

\frac{x e^{x^{2}}}{\sqrt{1+e^{x^{2}}}}

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