Exercício 30 (Retas não coplanares) Considere-se fixado no espaço tridimensional um sistema ortonormal ) de coordenadas cartesianas. Considerem-se as duas retas e com as representações paramétricas
Mostrar que as retas (R1) e ( R2 ) não são coplanares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as retas (R1) e (R2) não são coplanares no espaço. Esse problema de geometria analítica em R^3 pode ser resolvido usando vetores diretores, teste de paralelismo e o produto misto (determinante de três vetores).
Passo 2
Extraímos de (R1) o ponto
A = (-2,,2,,1)
e o vetor diretor
vec v = (1,,-1,,4),
e de (R2) o ponto
B = (3,,-2,,1)
e o vetor diretor
vec w = (1,,3,,1)
Passo 3
Verificamos que vec v e vec w não são paralelos pois não existe escalar lambda tal que vec v = lambda,vec w (as razões das componentes não coincidem).
Passo 4
Calculamos o vetor que liga A a B:
AB = B - A = (5,,-4,,0)
Passo 5
O teste de coplanaridade de duas retas diz que elas são coplanares se, e somente se, o produto misto det(vec v,vec w,AB)
for zero. Primeiro calculamos o produto vetorial:
vec w times AB = (1,3,1)times(5,-4,0) = (,3cdot0 - 1cdot(-4),;1cdot5 - 1cdot0,;1cdot(-4) - 3cdot5) = (4,,5,,-19)
Em seguida o produto misto:
det(vec v,vec w,AB) = vec v !cdot!(vec w times AB) = 1cdot4 + (-1)cdot5 + 4cdot(-19) = -77 neq 0
Como o produto misto é diferente de zero, os três vetores são linearmente independentes e não determinam um mesmo plano, logo as retas são não coplanares.