Seja B=u1, u2, cdots, un uma base de um K-espaço vetorial U. Mostre que
[I d]B=I dn
onde I dn é a matriz identidade de Mn times n(K).

Passo 1

O enunciado nos dá uma base B=u1,u2,dots,un de um K-espaço vetorial U e pede para mostrar que a matriz da aplicação identidade
Id:Uto U em relação à base B é exatamente a matriz identidade In. Vamos usar a definição de matriz de uma transformação linear em relação a uma base.

Passo 2

Recordando a definição: seja T:Uto U linear e B=u1,dots,un uma base de U. Para cada jin1,dots,n escrevemos
T(uj) ;=;sumi=1^n aij,ui
Então a matriz [T]B é a matriz (aij), onde a j-ésima coluna é o vetor de coordenadas de T(uj) na base B.

Passo 3

No caso de Id, temos para todo j
Id(uj) ;=;uj
Expressando uj na própria base B, obtemos
uj =0cdot u1+cdots+1cdot uj+cdots+0cdot un,
isto é, o vetor de coordenadas de uj é o vetor canônico ej.

Passo 4

Portanto, a j-ésima coluna de [Id]B é ej. Como isso vale para todo j=1,dots,n, concluímos que
[Id]B =l[e1,e2,dots,enr] =In

Resposta

[Id]B=In.

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