Seja
uma base de um
-espaço vetorial
. Mostre que
onde
é a matriz identidade de
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma base
de um
-espaço vetorial
e pede para mostrar que a matriz da aplicação identidade
em relação à base
é exatamente a matriz identidade
. Vamos usar a definição de matriz de uma transformação linear em relação a uma base.
Passo 2
Recordando a definição: seja
linear e
uma base de
. Para cada
escrevemos
Então a matriz
é a matriz
, onde a
-ésima coluna é o vetor de coordenadas de
na base
.
Passo 3
No caso de
, temos para todo
Expressando
na própria base
, obtemos
isto é, o vetor de coordenadas de
é o vetor canônico
.
Passo 4
Portanto, a
-ésima coluna de
é
. Como isso vale para todo
, concluímos que