Exercício 0.28 Determine se o número descrito é racional ou irracional. Justifique.
0,45 \overline{57}.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o número decimal periódico \,0,45\overline{57} é racional ou irracional. Como todo decimal com parte periódica é racional, vamos transformar esse número numa fração para justificar.

Passo 2

Seja
x = 0,45\overline{57}.
Aqui a parte não periódica tem duas casas decimais (“45”), então multiplicamos por 100 para deslocar a vírgula até o início do período:
100x = 45,\overline{57}.

Passo 3

Agora a parte periódica “57” tem comprimento 2, então multiplicamos por 10^2=100 novamente (no resultado anterior) para alinhar as repetições:
100\cdot(100x) = 10000x = 4557,\overline{57}.

Passo 4

Subtraindo as duas expressões para eliminar a parte periódica, temos
10000x - 100x = 4557,\overline{57} - 45,\overline{57} = 4512.
Logo,
9900x = 4512 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4512}{9900}.

Passo 5

Para simplificar a fração, dividimos numerador e denominador por 12:
x = \frac{4512\div12}{9900\div12} = \frac{376}{825}.
Isso mostra que x é uma razão de inteiros, logo é racional.

Resposta

O número 0,45\overline{57} é racional e sua forma fracionária reduzida é \displaystyle \frac{376}{825}.

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