Exercício 0.28 Determine se o número descrito é racional ou irracional. Justifique. 0,45 \overline{57}.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o número decimal periódico \,0,45\overline{57} é racional ou irracional. Como todo decimal com parte periódica é racional, vamos transformar esse número numa fração para justificar.
Passo 2
Seja
x = 0,45\overline{57}.
Aqui a parte não periódica tem duas casas decimais (“45”), então multiplicamos por 100 para deslocar a vírgula até o início do período:
100x = 45,\overline{57}.
Passo 3
Agora a parte periódica “57” tem comprimento 2, então multiplicamos por 10^2=100 novamente (no resultado anterior) para alinhar as repetições:
100\cdot(100x) = 10000x = 4557,\overline{57}.
Passo 4
Subtraindo as duas expressões para eliminar a parte periódica, temos