Exercício 28. Considerando as matrizes A, B e C, encontre a matriz inversa, se possível.
l A=[cccc 2 & 1 & 3 & 4 3 & 2 & 4 & 5 2 & 2 & 1 & 0 -2 & 1 & 3 & 1 ] B=[cccc 1 & 1 & 2 & -1 2 & 3 & 0 & -2 -1 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & 1 & 1 ] C=[ccc 1 & 0 & 3 2 & -1 & 4 -6 & -1 & -17 ]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, se existir, a inversa das matrizes A, B (ambas 4times4) e C ( 3times3). Para isso vamos usar eliminação de Gauss–Jordan para A e B e o método da adjunta (cofatores) para C.

Passo 2

Invertemos A montando a matriz aumentada l[Amid I4r] e aplicando Gauss–Jordan. As operações principais foram:
&R1tfrac12R1, &R2 R2-3R1, R3 R3-2R1, R4 R4+2R1, &R2 2R2, &R1 R1-tfrac12R2, R3 R3-R2, R4 R4-2R2, &R3 -R3, &R1 R1-2R3, R2 R2+R3, R4 R4-8R3, &R4 -tfrac17R4, &R1 R1+R4, R2 R2+R4, R3 R3+R4
Ao final da redução completa, o bloco à direita vira A^-1.

Passo 3

O resultado é
A^-1=17 19 & -15 & 6 & -1 -58 & 48 & -15 & -1 -37 & 34 & -15 & -1 -23 & 20 & -8 & -1

Passo 4

Para inverter B usamos Gauss–Jordan em l[Bmid I4r] com as operações:
&R2 R2-2R1, R3 R3+R1, R4 R4-R1, &R1 R1-R2, R3 R3-2R2, R4 R4-R2, &R3 tfrac112R3, &R1 R1-6R3, R2 R2+4R3, R4 R4-3R3, &R4 tfrac47R4, &R1 R1+tfrac32R4, R2 R2+tfrac13R4, R3 R3+tfrac112R4
Após estas etapas, a parte direita é B^-1.

Passo 5

Encontramos
B^-1 = tfrac27 & -tfrac37 & -tfrac57 & tfrac67 -tfrac821 & tfrac521 & tfrac27 & tfrac421 tfrac1742 & -tfrac421 & tfrac114 & tfrac121 -tfrac17 & -tfrac27 & -tfrac17 & tfrac47

Passo 6

Para C usamos o adjunto. Primeiro o determinante:
det(C) = 1cdotdet!-1&4-1&-17 +3cdotdet!2&-1-6&-1 =21-24=-3neq0
Os cofatores formam a matriz
l[Cijr]= 21&10&4 -3&1&1 3&2&-1 ,
logo a adjunta é
adj(C) = 21 & -3 & 3 10 & 1 & 2 4 & 1 & -1
Assim
C^-1=1det(C),adj(C) =-tfrac13 21 & -3 & 3 10 & 1 & 2 4 & 1 & -1 = -7 & 1 & -1 -tfrac103 & -tfrac13 & -tfrac23 -tfrac43 & -tfrac13 & tfrac13

Resposta

A^-1=dfrac1719 & -15 & 6 & -1-58 & 48 & -15 & -1-37 & 34 & -15 & -1-23 & 20 & -8 & -1
B^-1=tfrac27 & -tfrac37 & -tfrac57 & tfrac67-tfrac821 & tfrac521 & tfrac27 & tfrac421tfrac1742 & -tfrac421 & tfrac114 & tfrac121-tfrac17 & -tfrac27 & -tfrac17 & tfrac47
C^-1=-7 & 1 & -1-tfrac103 & -tfrac13 & -tfrac23-tfrac43 & -tfrac13 & tfrac13

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