Exercício 28 (Plano determinado por três pontos) Considere-se o espaço tridimensional munido de um sistema ortonormal (O ; imath, jmath, k) de coordenadas cartesianas. Entre as equações cartesianas ou representações paramétricas seguintes, determinar quais são aquelas que correspondem ao único plano (P) que passa pelos pontos A(1 ; 1 ; 0), B(-1 ; 0 ; 4), C(2 ; 2 ;-1).
28.1 O plano de equação cartesiana (P1): 3 x-2 y+z=1.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
A = (1;1;0), B = (-1;0;4), C = (2;2;-1)
e propõe o plano l(P1r) de equação
3x - 2y + z = 1
O conteúdo é verificar se esses três pontos pertencem a esse plano, testando se suas coordenadas satisfazem a equação.

Passo 2

Substituímos as coordenadas de cada ponto em ,3x - 2y + z:
  1. Para A(1;1;0): 3cdot 1 - 2cdot 1 + 0 = 3 - 2 = 1
  2. Para B(-1;0;4): 3cdot(-1) - 2cdot 0 + 4 = -3 + 4 = 1
  3. Para C(2;2;-1): 3cdot 2 - 2cdot 2 + (-1) = 6 - 4 - 1 = 1
Em todos os casos o lado esquerdo vale 1, igual ao termo independente.

Passo 3

Como A, B e C satisfazem a equação de l(P1r), esse plano contém os três pontos. E, como três pontos não colineares determinam um único plano, concluímos que l(P1r) é exatamente o plano buscado.

Resposta

O plano l(P1r)colon 3x - 2y + z = 1 coincide com o plano (P) determinado por A, B e C.

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