Exercício 33 (Três planos) Considerem-se os planos com equações cartesianas (P1): x+2 y=5 e(P2): x+y+z=3.
33.2 Determinar uma equação geral do plano (P3) perpendicular à reta (R) e que passa pelo ponto A(1 ; 0 ;-1).

Passo 1

O enunciado fornece dois planos
,(P1): x+2y=5 e ,(P2): x+y+z=3,
cuja interseção é a reta (R). Queremos determinar um plano (P3) que seja perpendicular à reta (R) e passe pelo ponto A(1,0,-1).
Para isso, vamos usar que o vetor diretor de (R) é dado pelo produto vetorial dos vetores normais de P1 e P2, e que um plano perpendicular a uma reta tem seu vetor normal paralelo ao vetor diretor dessa reta.

Passo 2

Os vetores normais de P1 e P2 são
n1 = (1,2,0), n2 = (1,1,1)
O vetor diretor de (R) é
v = n1 times n2 = i & j & k [6pt] 1 & 2 & 0 [3pt] 1 & 1 & 1 = (2cdot1 - 0cdot1),i - (1cdot1 - 0cdot1),j + (1cdot1 - 2cdot1),k = (2,,-1,,-1)
Como P3 é perpendicular a (R), seu vetor normal n3 pode ser escolhido igual a v, ou seja,
n3 = (2,-1,-1)
]

Passo 3

A equação de um plano com normal n3=(a,b,c) que passa por A(x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Substituindo a=2, b=-1, c=-1 e A(1,0,-1) obtemos
2(x-1) ;-;1,(y-0);-;1,(z+1) ;=;0

Passo 4

Expandindo e simplificando:
2x - 2 - y - z - 1 = 0 Longrightarrow 2x - y - z - 3 = 0

Resposta

A equação geral do plano (P3) é
2x - y - z - 3 = 0

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