Exercício 33 (Três planos) Considerem-se os planos com equações cartesianas .
33.2 Determinar uma equação geral do plano perpendicular à reta e que passa pelo ponto .
Passo 1
O enunciado fornece dois planos e ,
cuja interseção é a reta . Queremos determinar um plano que seja perpendicular à reta e passe pelo ponto .
Para isso, vamos usar que o vetor diretor de é dado pelo produto vetorial dos vetores normais de e , e que um plano perpendicular a uma reta tem seu vetor normal paralelo ao vetor diretor dessa reta.
Passo 2
Os vetores normais de e são
O vetor diretor de é
Como P3 é perpendicular a (R), seu vetor normal n3 pode ser escolhido igual a v, ou seja,
n3 = (2,-1,-1)
]
Passo 3
A equação de um plano com normal n3=(a,b,c) que passa por A(x0,y0,z0) é
a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0
Substituindo a=2, b=-1, c=-1 e A(1,0,-1) obtemos
2(x-1) ;-;1,(y-0);-;1,(z+1) ;=;0
Passo 4
Expandindo e simplificando:
2x - 2 - y - z - 1 = 0 Longrightarrow 2x - y - z - 3 = 0