Exercício 34 (Retas e planos associados) Considerem-se as retas com equações paramétricas
(R1):l x=1+1 s y=1+2 s z=-3-1 s (s in R) ; (R2):l x=0+2 t y=-4+1 t z=2+3 t (t in R)
34.3 Determinar uma equação geral do plano (P3) que contém a origem das coordenadas e é perpendicular à reta (R1). Determinar as coordenadas do ponto M=(R1) cap(P3), interseção da reta (R1) com o plano (P3).

Passo 1

O enunciado fornece a reta (R1) com equações paramétricas
x=1+s, y=1+2s, z=-3 - s, (sinR),
e pede um plano (P3) que contenha a origem e seja perpendicular a (R1). Em seguida, devemos encontrar o ponto M onde (R1) intersecta esse plano. O conteúdo envolvido é geometria analítica de reta e plano em R^3.

Passo 2

Para que o plano seja perpendicular à reta (R1), o vetor direção de (R1), que é
vec v = (1,,2,,-1),
deve ser normal ao plano. Como o plano passa pela origem, sua equação geral é
vec vcdot(x,y,z)=0,
isto é,
1cdot x + 2cdot y +(-1)cdot z = 0
ou simplesmente
x + 2y - z = 0

Passo 3

O ponto de interseção M satisfaz as equações de (R1) e a equação do plano. Substituindo
x=1+s, y=1+2s, z=-3-s
em
x + 2y - z = 0
temos
(1+s) + 2(1+2s) - l(-3 - sr) = 0
1+s +2+4s +3 + s = 0
6 + 6s = 0 Longrightarrow s = -1
Logo
M: x=1-1=0,;y=1+2(-1)=-1,;z=-3-(-1)=-2

Resposta

A equação geral do plano (P3) é
x + 2y - z = 0,
e o ponto de interseção é
M = (0,,-1,,-2)

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