Exercício 9. Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade inicial de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir da borda de um penhasco 140 m acima do solo. Encontre a altura da bola após t segundos. Quando atinge sua altura máxima? Quando atinge o solo? (Dica: Como o movimento é vertical, escolha o sentido positivo para cima. No instante t, a distância acima do solo é s(t) e a velocidade v(t) está decrescendo, portanto a aceleração deve ser negativa. Assim \left.\mathrm{a}(\mathrm{t})=-9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi informado):
  • Velocidade inicial: \,v(0)=15\\ \mathrm{m/s}\, (para cima).
  • Altura inicial (altura do penhasco): \,s(0)=140\\ \mathrm{m}\, (acima do solo).
  • Aceleração vertical (constante, para baixo): \,a(t)=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\,.
    O enunciado pede três coisas:
  1. A altura da bola após t segundos, isto é a função s(t).
  2. Quando ela atinge sua altura máxima (tempo) — e é útil também saber qual é essa altura máxima.
  3. Quando (ou seja, em que instante t) ela atinge o solo.

Passo 2

Vamos construir a função s(t) a partir da aceleração. Aqui a ideia é integrar a aceleração para obter a velocidade e integrar a velocidade para obter a posição. Explico passo a passo e o que cada símbolo significa:
  • \,a(t) é a aceleração em \mathrm{m/s^{2}}.
  • \,v(t) é a velocidade em \mathrm{m/s}.
  • \,s(t) é a altura acima do solo em \mathrm{m}.
    Dados: \,a(t)=-9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}. Integrando uma vez (porque aceleração é a derivada da velocidade):
v(t)=\int a(t)\,dt = \int (-9,8)\,dt = -9,8t + C_1.
A constante C_1 é a velocidade inicial, então C_1= v(0)=15. Assim
v(t)=15-9,8t.
Isso faz sentido: a velocidade começa em \,15\\ \mathrm{m/s} e vai diminuindo por causa da gravidade.
Agora integramos v(t) para obter s(t):
s(t)=\int v(t)\,dt = \int (15-9,8t)\,dt = 15t - 4,9t^{2} + C_2.
A constante C_2 é a posição inicial s(0)=140, logo C_2=140. Portanto a função altura é
s(t)=140 + 15t - 4,9t^{2}.
Observações práticas: o termo -4,9t^{2} vem de \tfrac{1}{2}\,a\,t^{2}=\tfrac{1}{2}(-9,8)t^{2}=-4,9t^{2}. Sempre confira unidades: cada termo está em metros.

Passo 3

Quando a bola atinge a altura máxima? Explicação conceitual: em um movimento vertical sem resistência, o ponto mais alto ocorre quando a velocidade instantânea se anula, isto é quando v(t)=0. Então usamos a expressão de v(t) que já obtivemos:
v(t)=15-9,8t.
Zerando:
15-9,8t=0 \quad\Rightarrow\quad t=\frac{15}{9,8}.
Calculemos esse quociente:
t=\frac{15}{9,8}\approx 1,530612\\ \text{s}.
Arredondando para duas casas decimais (prático para prova): \,t\approx 1,53\\ \text{s}.
Qual é a altura máxima? Substituímos esse t em s(t). Há duas formas: (a) substituir diretamente em s(t)=140+15t-4,9t^{2}, ou (b) usar a relação energética/analítica que diz que a subida adicional é \dfrac{v_{0}^{2}}{2g}. Vou mostrar a forma (b) porque é mais curta e educativa: a subida máxima em relação à posição inicial vale
\Delta s = \frac{v_{0}^{2}}{2g} = \frac{15^{2}}{2\cdot 9,8} = \frac{225}{19,6}.
Calculando:
\frac{225}{19,6}\approx 11,47959\\ \mathrm{m}.
Logo a altura máxima medida acima do solo é
s_{\max}=140+\Delta s \approx 140+11,47959 \approx 151,47959\\ \mathrm{m}.
Arredondando: \,s_{\max}\approx 151,48\\ \mathrm{m}.
(Se preferir substituir diretamente t=\dfrac{15}{9,8} em s(t) o resultado dará o mesmo número; é só um pouco mais trabalhoso algebricamente.)

Passo 4

Quando ela atinge o solo? Isso significa achar o instante positivo t tal que s(t)=0. Usamos
s(t)=140+15t-4,9t^{2}=0.
É uma equação quadrática. Reescrevendo na forma padrão:
4,9t^{2}-15t-140=0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara ( t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} para at^{2}+bt+c=0). Aqui a=4,9, b=-15 (ou usar os sinais conforme a forma), c=-140. Usando a forma com a=4,9,\\ b=-15,\\ c=-140 obtemos
t=\frac{15\pm\sqrt{(-15)^{2}-4\cdot 4,9\cdot(-140)}}{2\cdot 4,9} =\frac{15\pm\sqrt{225+4\cdot 4,9\cdot 140}}{9,8}.
Calcule o discriminante:
225+4\cdot 4,9\cdot 140 = 225 + 19,6\cdot 140 = 225 + 2744 = 2969.
Logo
t=\frac{15\pm\sqrt{2969}}{9,8}.
A raiz quadrada \sqrt{2969}\approx 54,48835. Usando o sinal + obtemos o tempo futuro (positivo):
t=\frac{15+54,48835}{9,8}\approx \frac{69,48835}{9,8}\approx 7,09065\\ \text{s}.
Arredondando: \,t\approx 7,09\\ \text{s}.
(A solução com o sinal - dá um tempo negativo \approx -4,03\\ \text{s}, que corresponde a um instante antes do tempo zero — não nos interessa aqui.)

Passo 5

Recapitulando e checando: a fórmula s(t)=140+15t-4,9t^{2} tem coeficiente quadrático negativo (abertura para baixo), então há realmente um máximo no tempo em que v(t)=0; o tempo até o solo ( \approx 7,09\\ \text{s}) é maior que o tempo até o máximo ( \approx 1,53\\ \text{s}), o que faz sentido: a bola sobe, desacelera até parar, depois desce e atinge o solo alguns segundos depois. Você conseguiu — tá quase lá, respira fundo e repete esses passos; em prova a ideia é sempre a mesma: integrar a aceleração e aplicar condições iniciais, depois resolver as equações simples que aparecem.

Resposta

s(t)=140+15t-4,9t^{2}
Tempo até a altura máxima: t=\dfrac{15}{9,8}\approx 1,53\\ \text{s}. Altura máxima: s_{\max}\approx 151,48\\ \mathrm{m}.
Tempo até atingir o solo: t=\dfrac{15+\sqrt{2969}}{9,8}\approx 7,09\\ \text{s}

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