Exercício 9. Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade inicial de
a partir da borda de um penhasco 140 m acima do solo. Encontre a altura da bola após t segundos. Quando atinge sua altura máxima? Quando atinge o solo? (Dica: Como o movimento é vertical, escolha o sentido positivo para cima. No instante
, a distância acima do solo é
e a velocidade
está decrescendo, portanto a aceleração deve ser negativa. Assim
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi informado):
- Velocidade inicial:
(para cima). - Altura inicial (altura do penhasco):
(acima do solo). - Aceleração vertical (constante, para baixo):
.
O enunciado pede três coisas:
- A altura da bola após
segundos, isto é a função . - Quando ela atinge sua altura máxima (tempo) — e é útil também saber qual é essa altura máxima.
- Quando (ou seja, em que instante
) ela atinge o solo.
Passo 2
Vamos construir a função
a partir da aceleração. Aqui a ideia é integrar a aceleração para obter a velocidade e integrar a velocidade para obter a posição. Explico passo a passo e o que cada símbolo significa:
-
é a aceleração em . -
é a velocidade em . -
é a altura acima do solo em .
Dados:. Integrando uma vez (porque aceleração é a derivada da velocidade):
A constante
é a velocidade inicial, então
. Assim
Isso faz sentido: a velocidade começa em
e vai diminuindo por causa da gravidade.
Agora integramos
para obter
:
A constante
é a posição inicial
, logo
. Portanto a função altura é
Observações práticas: o termo
vem de
. Sempre confira unidades: cada termo está em metros.
Passo 3
Quando a bola atinge a altura máxima? Explicação conceitual: em um movimento vertical sem resistência, o ponto mais alto ocorre quando a velocidade instantânea se anula, isto é quando
. Então usamos a expressão de
que já obtivemos:
Zerando:
Calculemos esse quociente:
Arredondando para duas casas decimais (prático para prova):
Qual é a altura máxima? Substituímos esse
em
. Há duas formas: (a) substituir diretamente em
, ou (b) usar a relação energética/analítica que diz que a subida adicional é
. Vou mostrar a forma (b) porque é mais curta e educativa: a subida máxima em relação à posição inicial vale
Calculando:
Logo a altura máxima medida acima do solo é
Arredondando:
(Se preferir substituir diretamente
em
o resultado dará o mesmo número; é só um pouco mais trabalhoso algebricamente.)
Passo 4
Quando ela atinge o solo? Isso significa achar o instante positivo
tal que
. Usamos
É uma equação quadrática. Reescrevendo na forma padrão:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara (
para
). Aqui
,
(ou usar os sinais conforme a forma),
. Usando a forma com
obtemos
Calcule o discriminante:
Logo
A raiz quadrada
. Usando o sinal
obtemos o tempo futuro (positivo):
Arredondando:
(A solução com o sinal
dá um tempo negativo
, que corresponde a um instante antes do tempo zero — não nos interessa aqui.)
Passo 5
Recapitulando e checando: a fórmula
tem coeficiente quadrático negativo (abertura para baixo), então há realmente um máximo no tempo em que
; o tempo até o solo (
) é maior que o tempo até o máximo (
), o que faz sentido: a bola sobe, desacelera até parar, depois desce e atinge o solo alguns segundos depois. Você conseguiu — tá quase lá, respira fundo e repete esses passos; em prova a ideia é sempre a mesma: integrar a aceleração e aplicar condições iniciais, depois resolver as equações simples que aparecem.
Resposta
Tempo até a altura máxima:
. Altura máxima:
.
Tempo até atingir o solo: