Exercício 0.30 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (\mathbb{R},+, \cdot,<) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas.
\left\{\begin{array}{c}x \leq y \\\ z \leq w\end{array} \Longrightarrow x+z \leq y+w\right..

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{R}\) com a ordem compatível com a adição, de \[\begin{cases} x \le y,\\\ z \le w \end{cases}
segue
x + z \le y + w.
Os axiomas que vamos usar são:
– (O2) se a \le b\] então, para todo \(c, tem-se a + c \le b + c;
– (O1) a ordem é transitiva: de u \le v e v \le t segue u \le t.

Passo 2

Aplicando (O2) à desigualdade x \le y com c = z, obtemos
x + z \le y + z.

Passo 3

Aplicando (O2) à desigualdade z \le w com c = y, obtemos
y + z \le y + w.

Passo 4

Agora, pela transitividade da ordem (O1), de
x + z \le y + z \quad\text{e}\quad y + z \le y + w
concluímos
x + z \le y + w.

Resposta

\;x + z \le y + w.

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