Exercício 0.30 Usando as propriedades das operações de adição, multiplicação e de ordem que tornam (\mathbb{R},+, \cdot,<) um corpo ordenado, prove as afirmações dadas. \left\{\begin{array}{c}0 \leq x \leq y \\\\ 0 \leq z \leq w\end{array} \Longrightarrow x . z \leq y . w\right..
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em um corpo ordenado (\mathbb{R},+,\cdot,<), se
0 \le x \le y \quad\text{e}\quad 0 \le z \le w
então
x\cdot z \le y\cdot w.
Vamos usar duas propriedades básicas de corpos ordenados:
Se a\le b e c\ge0, então a\,c\le b\,c.
A relação \le é transitiva.
Passo 2
Da hipótese 0\le x\le y e do fato de z\ge0, aplicamos a propriedade de multiplicação por não-negativos para obter
x\le y \quad\text{e}\quad z\ge0 \quad\Longrightarrow\quad x\,z \le y\,z.
Passo 3
Da hipótese 0\le z\le w e do fato de y\ge0, aplicamos novamente a propriedade de multiplicação por não-negativos para obter
z\le w \quad\text{e}\quad y\ge0 \quad\Longrightarrow\quad y\,z \le y\,w.
Passo 4
Agora usamos a transitividade de \le. Como x\,z \le y\,z e y\,z \le y\,w, concluímos