Exercício 30 - (ITA, 2020) Sejam x1, x2, x3, x4, x5 e x6 números reais tais que 2^x1=4 ; 3^x2=5 ; 4^x3=6 ; 5^x4=7 ; 6^x5=8 e 7^x6=9. Então, o produto x1 x2 x3 x4 x5 x6 é igual a:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14

Passo 1

O enunciado dá seis equações exponenciais
2^x1=4,; 3^x2=5,; 4^x3=6,; 5^x4=7,; 6^x5=8,; 7^x6=9
e pede o produto x1x2x3x4x5x6.
Conteúdo: resolver cada xi por logaritmos e depois multiplicar, simplificando as expressões.

Passo 2

Aplicando log natural em cada equação, temos
x1=ln 4ln 2=2, x2=ln 5ln 3, x3=ln 6ln 4, x4=ln 7ln 5, x5=ln 8ln 6, x6=ln 9ln 7
Observação: ln4=2ln2, ln8=3ln2, ln9=2ln3.

Passo 3

O produto vale
P = x1x2x3x4x5x6 =2cdotln5ln3cdotln62ln2cdotln7ln5cdot3ln2ln6cdot2ln3ln7

Passo 4

Agrupando constantes e cancelando logaritmos iguais em numerador e denominador, ficamos com
P =l(2cdot12cdot3cdot2r)cdot ln5,ln6,ln7,ln2,ln3 ln3,ln2,ln5,ln6,ln7 =2cdot12cdot3cdot2 =6

Resposta

a) 6

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