Exercício 33. Determine:
\lim _{x \rightarrow 2^{-}} \frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado fornece a expressão a ser avaliada e o ponto de aproximação:
  • Função dada: \dfrac{1}{x-2}.
  • A aproximação pedida: limite quando x tende para 2 pela esquerda, ou seja x\to2^{-}.
O que é pedido: determinar o valor (ou o comportamento) de
\lim_{x\to2^{-}} \frac{1}{x-2}.

Passo 2

Entendendo o que significa o limite lateral pedido (uma rápida aulinha):
  • Dizer que x\to2^{-} significa que x se aproxima de 2 por valores menores que 2 (ex.: 1{,}9,\;1{,}99,\;1{,}999,\dots).
  • Para limites que “tendem a infinito”, a notação \lim_{x\to2^{-}} f(x)=-\infty significa que, ao aproximar x de 2 pela esquerda, os valores de f(x) ficam arbitrariamente negativos (isto é, sem limite inferior finito). Em termos formais: para todo número K<0 existe \delta>0 tal que, se 0<2-x<\delta (ou seja, x está à esquerda de 2 e suficientemente próximo), então f(x)<K.

Passo 3

Análise informal e intuição do comportamento da função \dfrac{1}{x-2}:
  • Se x<2, então x-2 é um número negativo. Logo \dfrac{1}{x-2} é negativo.
  • Ao aproximar x de 2 pela esquerda, a quantidade x-2 vai para 0 por valores negativos (por exemplo: -0{,}1,\,-0{,}01,\,-0{,}001,\dots). Dividir 1 por um número negativo cada vez mais próximo de zero dá números negativos com valor absoluto cada vez maior (ex.: \dfrac{1}{-0{,}1}=-10,\\ \dfrac{1}{-0{,}01}=-100,\\ \dfrac{1}{-0{,}001}=-1000).
  • Portanto a intuição diz que os valores de \dfrac{1}{x-2} tendem a -\infty quando x\to2^{-}.

Passo 4

Prova formal (no estilo definição de limite que vai a -\infty):
Seja qualquer K<0. Queremos encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<2-x<\delta (ou seja x está à esquerda de 2 e dentro da distância \delta), tenhamos
\frac{1}{x-2}<K.
Faça a substituição t=2-x. Então t>0 e x-2=-t. Assim
\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{t}.
A condição desejada passa a ser
-\frac{1}{t}<K.
Como K<0, multiplicando por -1 e invertendo a desigualdade obtemos
\frac{1}{t}>-K.
Isto equivale a
t<\frac{1}{-K}.
Então basta escolher
\delta=\frac{1}{-K}\quad(\text{note que }\delta>0\text{ pois }-K>0).
Com essa escolha, sempre que 0<2-x<\delta teremos t<\delta=\dfrac{1}{-K}, o que implica -\dfrac{1}{t}<K, isto é \dfrac{1}{x-2}<K. Como isso vale para todo K<0, concluímos que \dfrac{1}{x-2} fica arbitrariamente negativo quando x\to2^{-}.

Passo 5

Resumo final e reforço com exemplos numéricos rápidos:
  • Intuitivamente e pelo argumento formal, quando x se aproxima de 2 pela esquerda, x-2 é um negativo cada vez menor em magnitude, então \dfrac{1}{x-2} é negativo com módulo crescendo sem limite.
  • Exemplos: para x=1{,}9 tem-se \dfrac{1}{1{,}9-2}=\dfrac{1}{-0{,}1}=-10; para x=1{,}99 tem-se -100; para x=1{,}999 tem-se -1000. Vai para -\infty.

Resposta

-\infty

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