Exercício 33. Determine:
Passo 1
O enunciado fornece a expressão a ser avaliada e o ponto de aproximação:
- Função dada:
. - A aproximação pedida: limite quando
tende para pela esquerda, ou seja .
O que é pedido: determinar o valor (ou o comportamento) de
Passo 2
Entendendo o que significa o limite lateral pedido (uma rápida aulinha):
- Dizer que
significa que se aproxima de por valores menores que (ex.: ). - Para limites que “tendem a infinito”, a notação
significa que, ao aproximar de pela esquerda, os valores de ficam arbitrariamente negativos (isto é, sem limite inferior finito). Em termos formais: para todo número existe tal que, se (ou seja, está à esquerda de e suficientemente próximo), então .
Passo 3
Análise informal e intuição do comportamento da função
:
- Se
, então é um número negativo. Logo é negativo. - Ao aproximar
de pela esquerda, a quantidade vai para por valores negativos (por exemplo: ). Dividir por um número negativo cada vez mais próximo de zero dá números negativos com valor absoluto cada vez maior (ex.: ). - Portanto a intuição diz que os valores de
tendem a quando .
Passo 4
Prova formal (no estilo definição de limite que vai a
):
Seja qualquer . Queremos encontrar
tal que, sempre que
(ou seja
está à esquerda de
e dentro da distância
), tenhamos
Seja qualquer
Faça a substituição
. Então
e
. Assim
A condição desejada passa a ser
Como
, multiplicando por
e invertendo a desigualdade obtemos
Isto equivale a
Então basta escolher
Com essa escolha, sempre que
teremos
, o que implica
, isto é
. Como isso vale para todo
, concluímos que
fica arbitrariamente negativo quando
.
Passo 5
Resumo final e reforço com exemplos numéricos rápidos:
- Intuitivamente e pelo argumento formal, quando
se aproxima de pela esquerda, é um negativo cada vez menor em magnitude, então é negativo com módulo crescendo sem limite. - Exemplos: para
tem-se ; para tem-se ; para tem-se . Vai para .