Questão 4: Dada a matriz M=\left[\begin{array}{ccc}\frac{3}{5} & -\frac{4}{5} & 0 \\\ \frac{1}{5} & \frac{3}{5} & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right], calcule M M^{T}, Qual sería a expression de M^{-1} ?

Passo 1

O enunciado fornece a matriz\r
M = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} & 0 \\[6pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\r
e pede (a) o produto M M^{T} e (b) a expressão de M^{-1}. Para isso vamos usar regras de multiplicação de matrizes, transposição, e a fórmula de inversa de uma submatriz 2\times2.]

Passo 2

Calcular M M^{T}. Note que a terceira linha/coluna é trivial, pois há um bloco 2\times2 no canto superior e um 1 isolado embaixo. Para o bloco 2\times2 seja\r
A = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix},\r
então\r
A A^{T} = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & \tfrac{1}{5} \\[4pt] -\tfrac{4}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{9+16}{25} & \tfrac{3\cdot1 -4\cdot3}{25} \\[6pt] \tfrac{1\cdot3 -4\cdot1}{25} & \tfrac{1+9}{25} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{9}{25} \\[4pt] -\tfrac{9}{25} & \tfrac{2}{5} \end{pmatrix}.\r
Como o terceiro pivô é 1 e não interage com as outras linhas/colunas, concluímos\r
M M^{T} = \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{9}{25} & 0 \\[4pt] -\tfrac{9}{25} & \tfrac{2}{5} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Para achar M^{-1}, separamos de novo o bloco 2\times2 definido por\r
A = \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & -\tfrac{4}{5} \\[4pt] \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix}.\r
O determinante é\r
\det(A) = \tfrac{3}{5}\cdot\tfrac{3}{5} - \bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr)\cdot\tfrac{1}{5} = \tfrac{9}{25} + \tfrac{4}{25} = \tfrac{13}{25}.\r
Pela fórmula da inversa de uma matriz 2\times2,\r
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & \tfrac{4}{5} \\[4pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix} = \frac{25}{13} \begin{pmatrix} \tfrac{3}{5} & \tfrac{4}{5} \\[4pt] -\tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{15}{13} & \tfrac{20}{13} \\[4pt] -\tfrac{5}{13} & \tfrac{15}{13} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Como M é o bloco A acrescido da linha e coluna (0,0,1), sua inversa é o bloco A^{-1} mais o mesmo pivô 1 em (3,3). Portanto,\r
M^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{15}{13} & \tfrac{20}{13} & 0 \\[4pt] -\tfrac{5}{13} & \tfrac{15}{13} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

M M^{T} = \displaystyle \begin{pmatrix} 1 & -\tfrac{9}{25} & 0 \\[4pt] -\tfrac{9}{25} & \tfrac{2}{5} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} M^{-1} = \displaystyle \begin{pmatrix} \tfrac{15}{13} & \tfrac{20}{13} & 0 \\[4pt] -\tfrac{5}{13} & \tfrac{15}{13} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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