Exercício 30. Prove que:
\operatorname{sen}(2 x)=1-2 \operatorname{sen}^{2} x

Passo 1

O enunciado pede que se prove a igualdade
\operatorname{sen}(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x.
Informações dadas (explicitamente): nenhum valor numérico; a única coisa é a igualdade entre funções trigonométricas envolvendo o ângulo x.

Passo 2

Antes de tentar provar a igualdade, é bom checar se ela pode ser verdadeira para todo x. Faço uma verificação simples com um valor fácil, por exemplo x=0. Aqui x representa um ângulo (pode ser medido em radianos ou graus; as identidades trigonométricas valem para ambos, desde que se mantenha a mesma unidade).
Calculo o lado esquerdo:
\operatorname{sen}(2\cdot 0)=\operatorname{sen}(0)=0.
Calculo o lado direito:
1-2\operatorname{sen}^2 0 = 1-2\cdot 0^2 = 1.
Como 0\neq 1, conclui-se que a igualdade dada
\operatorname{sen}(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x
não é verdadeira para x=0 e, portanto, não é uma identidade válida para todos os x. Logo, a afirmação do enunciado está incorreta como escrita.

Passo 3

Provando a identidade correta relacionada: existe, sim, uma identidade muito conhecida parecida com a dada, que envolve o cosseno do ângulo duplo. Para chegar a ela é útil lembrar as fórmulas de soma de ângulos. Vou explicar brevemente de onde vêm essas fórmulas de soma de ângulos de forma direta e elegante usando rotações (uma explicação que dá intuição e é curta).
Considere a matriz de rotação no plano por um ângulo \theta:
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\operatorname{sen}\theta\\[4pt]\operatorname{sen}\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Aplicar R(\theta) a um vetor do plano corresponde a rodar esse vetor de \theta. A composição de duas rotações é uma rotação pela soma dos ângulos, ou seja,
R(a)R(b)=R(a+b).
Multiplicando R(a) por R(b) e comparando entradas obtém-se as fórmulas de soma:
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b.
Essas fórmulas são fundamentais e valem para quaisquer ângulos a e b.]

Passo 4

Agora uso as fórmulas de soma colocando a=b=x. Primeiro para o seno:
\operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}(x+x)=\operatorname{sen} x\cos x+\cos x\operatorname{sen} x=2\operatorname{sen} x\cos x.
Ou seja, uma identidade correta e muito usada é
\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen} x\cos x.
Isso já mostra que o seno do dobro não pode ser, em geral, igual a uma expressão que envolva apenas \operatorname{sen}^2 x sem \cos x, porque aqui aparece explicitamente \cos x.

Passo 5

Agora obtenho a identidade com \operatorname{sen}^2 x — mas ela envolve o cosseno do dobro. Use a fórmula de soma para o cosseno com a=b=x:
\cos(2x)=\cos(x+x)=\cos x\cos x-\operatorname{sen} x\operatorname{sen} x=\cos^2 x-\operatorname{sen}^2 x.
Para transformar isso numa expressão que contenha apenas \operatorname{sen}^2 x, uso a identidade pitagórica básica (que também é fundamental):
\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1.
Isolando \cos^2 x obtemos \cos^2 x=1-\operatorname{sen}^2 x. Substituindo em \cos(2x)=\cos^2 x-\operatorname{sen}^2 x vem:
\cos(2x)=(1-\operatorname{sen}^2 x)-\operatorname{sen}^2 x=1-2\operatorname{sen}^2 x.

Passo 6

Resumo do que encontramos e da correção necessária:
  • A igualdade dada no enunciado, \operatorname{sen}(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x, é falsa (contraexemplo x=0: 0\neq1).
  • A identidade correta, muito próxima da escrita do enunciado, é
\cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x,
e ela foi obtida a partir da fórmula de soma para o cosseno e da identidade pitagórica.

Resposta

A igualdade dada é falsa. A identidade correta é \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^2 x.

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