Exercício 30. Prove que:
Passo 1
O enunciado pede que se prove a igualdade
Informações dadas (explicitamente): nenhum valor numérico; a única coisa é a igualdade entre funções trigonométricas envolvendo o ângulo
.
Passo 2
Antes de tentar provar a igualdade, é bom checar se ela pode ser verdadeira para todo
. Faço uma verificação simples com um valor fácil, por exemplo
. Aqui
representa um ângulo (pode ser medido em radianos ou graus; as identidades trigonométricas valem para ambos, desde que se mantenha a mesma unidade).
Calculo o lado esquerdo:
Calculo o lado direito:
Como
, conclui-se que a igualdade dada
não é verdadeira para
e, portanto, não é uma identidade válida para todos os
. Logo, a afirmação do enunciado está incorreta como escrita.
Passo 3
Provando a identidade correta relacionada: existe, sim, uma identidade muito conhecida parecida com a dada, que envolve o cosseno do ângulo duplo. Para chegar a ela é útil lembrar as fórmulas de soma de ângulos. Vou explicar brevemente de onde vêm essas fórmulas de soma de ângulos de forma direta e elegante usando rotações (uma explicação que dá intuição e é curta).
Considere a matriz de rotação no plano por um ângulo
:
Aplicar
a um vetor do plano corresponde a rodar esse vetor de
. A composição de duas rotações é uma rotação pela soma dos ângulos, ou seja,
Multiplicando
por
e comparando entradas obtém-se as fórmulas de soma:
Essas fórmulas são fundamentais e valem para quaisquer ângulos
e
.]
Passo 4
Agora uso as fórmulas de soma colocando
. Primeiro para o seno:
Ou seja, uma identidade correta e muito usada é
Isso já mostra que o seno do dobro não pode ser, em geral, igual a uma expressão que envolva apenas
sem
, porque aqui aparece explicitamente
.
Passo 5
Agora obtenho a identidade com
— mas ela envolve o cosseno do dobro. Use a fórmula de soma para o cosseno com
:
Para transformar isso numa expressão que contenha apenas
, uso a identidade pitagórica básica (que também é fundamental):
Isolando
obtemos
. Substituindo em
vem:
Passo 6
Resumo do que encontramos e da correção necessária:
- A igualdade dada no enunciado,
, é falsa (contraexemplo : ). - A identidade correta, muito próxima da escrita do enunciado, é
e ela foi obtida a partir da fórmula de soma para o cosseno e da identidade pitagórica.
Resposta
A igualdade dada é falsa. A identidade correta é
.