Exercício 31. Seja
tal que
Passo 1
O enunciado dá a equação
com a condição de domínio
O que o problema pede: encontrar o(s) valor(es) de
nesse intervalo que satisfaçam a equação.
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil que relaciona
e
. Começando da identidade pitagórica
dividindo ambos os membros por
(válido porque
em
) obtemos
Como
e
, a identidade reescreve-se como
Explicando devagar:
é
. Somando
dá
. E
é
. Essa identidade é padrão e muito usada para eliminar
quando convém.
Passo 3
Substituindo
na equação dada, temos
Agora escrevemos
como
e efetuamos a multiplicação:
Logo a equação reduz-se a
Passo 4
A partir de
obtemos
Precisamos agora encontrar
em
tal que
.
Passo 5
Recordando os ângulos notáveis: num triângulo retângulo com ângulos
e
(triângulo
), as razões são proporcionais a
. Para o ângulo
a razão cosseno (cateto adjacente sobre hipotenusa) é
No intervalo
a função
é positiva e estritamente decrescente, portanto a solução é única e é
Passo 6
Verificação rápida:
, então
. Multiplicando por
obtemos
, que confirma que
satisfaz a equação original.