Exercício 31. Seja 0<x<90^{\circ} tal que
\left(1+\operatorname{tg}^{2} x\right) \cos x=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
\left(1+\operatorname{tg}^{2} x\right)\cos x = 2
com a condição de domínio
0<x<90^\circ.
O que o problema pede: encontrar o(s) valor(es) de x nesse intervalo que satisfaçam a equação.

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica muito útil que relaciona \tan e \cos. Começando da identidade pitagórica
\sin^2 x+\cos^2 x=1,
dividindo ambos os membros por \cos^2 x (válido porque \cos x\neq0 em 0<x<90^\circ) obtemos
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}+1=\frac{1}{\cos^2 x}.
Como \dfrac{\sin x}{\cos x}=\tan x e \dfrac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x, a identidade reescreve-se como
1+\tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x.
Explicando devagar: \tan^2 x é \sin^2 x/\cos^2 x. Somando 1 (\sin^2 x+\cos^2 x)/\cos^2 x=1/\cos^2 x. E 1/\cos^2 x é \operatorname{sec}^2 x. Essa identidade é padrão e muito usada para eliminar \tan quando convém.

Passo 3

Substituindo 1+\tan^2 x=\operatorname{sec}^2 x na equação dada, temos
\operatorname{sec}^2 x\cdot\cos x=2.
Agora escrevemos \operatorname{sec}^2 x como \dfrac{1}{\cos^2 x} e efetuamos a multiplicação:
\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\cos x=\frac{1}{\cos x}.
Logo a equação reduz-se a
\frac{1}{\cos x}=2.

Passo 4

A partir de \dfrac{1}{\cos x}=2 obtemos
\cos x=\frac{1}{2}.
Precisamos agora encontrar x em (0,90^\circ) tal que \cos x=\dfrac{1}{2}.

Passo 5

Recordando os ângulos notáveis: num triângulo retângulo com ângulos 30^\circ e 60^\circ (triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ), as razões são proporcionais a 1:\sqrt{3}:2. Para o ângulo 60^\circ a razão cosseno (cateto adjacente sobre hipotenusa) é
\cos 60^\circ=\frac{1}{2}.
No intervalo (0,90^\circ) a função \cos x é positiva e estritamente decrescente, portanto a solução é única e é
x=60^\circ.

Passo 6

Verificação rápida: \tan 60^\circ=\sqrt{3}, então 1+\tan^2 60^\circ=1+3=4. Multiplicando por \cos 60^\circ=\tfrac{1}{2} obtemos 4\cdot\tfrac{1}{2}=2, que confirma que x=60^\circ satisfaz a equação original.

Resposta

x=60^\circ

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