Exercício 33 (Resfriamento de tubo e velocidade do fluxo). Óleo escoa em regime permanente por um tubo circular. A T_{0}=60^{\circ} \mathrm{C} o diâmetro interno é D_{0}=0,10 \mathrm{~m} e a velocidade média é v_{0}=1,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Ao resfriar, o diâmetro varia como D(T)=D_{0}\left(1+\alpha\left(T-T_{0}\right)\right), com aço \alpha=12 \times 10^{-6} /{ }^{\circ} \mathrm{C}. Supondo fluido incompressível e vazão constante, determine \frac{d v}{d T} em T_{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados fornecidos: T_{0}=60^\circ\mathrm{C},\qquad D_{0}=0,10\\ \mathrm{m},\qquad v_{0}=1,8\\ \mathrm{m\;s^{-1}},e a variação do diâmetro com a temperatura é D(T)=D_{0}\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr),com \alpha=12\times 10^{-6}\\ /\!^\circ\mathrm{C}.
  • O fluido é incompressível e a vazão volumétrica é constante.
  • O que se pede: determinar \dfrac{dv}{dT} avaliado em T_{0}, ou seja \left.\dfrac{dv}{dT}\right|_{T_{0}}.

Passo 2

Vamos listar relações úteis que decorrem do enunciado (ainda sem calcular):
  • A área da secção transversal de um tubo circular em função do diâmetro é A=\frac{\pi D^{2}}{4}.Aqui A é a área (m²) e D é o diâmetro (m).
  • A vazão volumétrica Q está relacionada com a velocidade média v e a área A por Q=vA.Como o enunciado diz que Q é constante (fluido incompressível e regime permanente), v e A são inversamente proporcionais: se A aumenta, v diminui de modo que Q permaneça o mesmo.

Passo 3

Usando Q=vA com Q constante, podemos escrever a velocidade média em função do diâmetro:
v(T)=\frac{Q}{A(T)}=\frac{Q}{\dfrac{\pi D(T)^{2}}{4}}.
Como Q e os fatores constantes \pi/4 não dependem de T, é mais conveniente relacionar v(T) com v_{0}. Em T_{0} temos v_{0}=Q/A_{0} com A_{0}=\pi D_{0}^{2}/4. Dividindo as expressões,
\frac{v(T)}{v_{0}}=\frac{A_{0}}{A(T)}=\frac{D_{0}^{2}}{D(T)^{2}}.
Portanto
v(T)=v_{0}\left(\frac{D_{0}}{D(T)}\right)^{2}.

Passo 4

Agora substituímos D(T)=D_{0}\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr) na expressão de v(T). Como D(T) tem um fator D_{0}, isto simplifica:
v(T)=v_{0}\left(\frac{D_{0}}{D_{0}\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr)}\right)^{2} = v_{0}\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr)^{-2}.
Esta é a relação explícita entre v e T. Repare que a forma (1+\alpha (T-T_{0}))^{-2} será a que vamos derivar.

Passo 5

Vamos derivar v(T) em relação a T. Usamos a regra da cadeia: se f(T)=(g(T))^{-2} então f'(T)=-2\,g'(T)\,g(T)^{-3}. Aqui g(T)=1+\alpha (T-T_{0}) e g'(T)=\alpha. Aplicando:
\frac{dv}{dT}=v_{0}\cdot\frac{d}{dT}\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr)^{-2} = v_{0}\cdot\bigl(-2\bigr)\alpha\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr)^{-3}.
Portanto, para qualquer T,
\frac{dv}{dT}=-2\alpha v_{0}\bigl(1+\alpha (T-T_{0})\bigr)^{-3}.

Passo 6

Agora avaliamos a derivada em T=T_{0}. Nesse ponto 1+\alpha (T_{0}-T_{0})=1, então
\left.\frac{dv}{dT}\right|_{T_{0}}=-2\alpha v_{0}\cdot 1 = -2\alpha v_{0}.
Substituindo os valores numéricos \alpha=12\times 10^{-6}\\ /\!^\circ\mathrm{C} e v_{0}=1,8\\ \mathrm{m\;s^{-1}}:
\left.\frac{dv}{dT}\right|_{T_{0}} = -2\cdot\bigl(12\times 10^{-6}\bigr)\cdot 1,8 = -4,32\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\;s^{-1}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}}.
Fiz a multiplicação passo a passo: 2\cdot 12\times 10^{-6}=24\times 10^{-6} e 24\times 10^{-6}\cdot 1,8=43,2\times 10^{-6}=4,32\times 10^{-5}.

Passo 7

Interpretação curta e incentivo: o sinal negativo indica que ao resfriar (diminuir T) o diâmetro reduz ligeiramente e, por conservar a vazão, a velocidade aumenta; ao aquecer (aumentar T) a velocidade diminui. O valor é muito pequeno porque o coeficiente de dilatação térmica do aço \alpha é pequeno. Respira — fizemos tudo passo a passo e chegamos ao resultado numérico.

Resposta

-4,32\times 10^{-5}\\ \mathrm{m\;s^{-1}\;{}^\circ\mathrm{C}^{-1}}

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