Exercício 31. Seja X uma variável aleatória contínua com densidade dada por f(x)=c x^2,-1 <= x <= 1, e f(x)=0 caso contrário. Obtenha:
(a) o valor de c.
(b) calcule P(|X|>1 / 2).
© ache o valor de alpha tal que FX(alpha)=P(X <= alpha)=1 / 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é de Probabilidade (variáveis contínuas) e pede três coisas, baseado na densidade
f(x)=c,x^2, & -1<= x<=1,0,&caso contrárioá
O que precisamos usar:
  1. Normalização de densidade (integral de vale 1) para achar .
  2. Cálculo de probabilidade via integral de pra achar .
  3. Construir a função de distribuição acumulada e resolver .

Passo 2

A primeira missão é achar integral-infty^inftyf(x),dx =integral-1^1c,x^2,dx =1 . Lembra que a área total deve ser 1:
integral-1^1x^2,dx =l[tfracx^33r]-1^1 =1^33-(-1)^33 =13-l(-13r) =23
Calcula a integral ccdot23=1 Longrightarrow c=32 :
Então

Passo 3

Agora P(X>1/2)+P(X<-1/2) =2integral1/2^1f(x),dx =2integral1/2^132x^2,dx . Isso é
integral1/2^1x^2,dx =l[tfracx^33r]1/2^1 =1^33-(1/2)^33 =13-1/83 =13-124 =8-124 =724
Fora o 32cdot724=716, fora, dentro dá:
P(|X|>1/2)=2cdot716=78
Multiplica pelo :
e volta o 2 lá de fora:

Passo 4

Pra achar FX(x)=integral-1^xf(t),dt =integral-1^x32t^2,dt =32l[tfract^33r]-1^x =32cdotx^3-(-1)^33 =x^3+12 tal que x^3+1=12 Longrightarrow x^3=-12 Longrightarrow x=-l(tfrac12r)^1/3 , primeiro escrevemos a CDF:
Queremos . Então
Esse é o .

Resposta

c =

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