Exercício 34 (Taxas angulares em engrenagens). Duas engrenagens cilíndricas engrenam sem escorregamento. A engrenagem A tem raio
e a B tem
. Se a velocidade angular de A cresce a
, determine
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a aceleração angular de
, dada a aceleração angular de
. Informações fornecidas:
Queremos encontrar
.
Passo 2
Entendendo a condição física importante do enunciado: as duas engrenagens engrenam sem escorregamento. Isso significa que, no ponto de contato, as velocidades tangenciais das superfícies são iguais em módulo. Para uma roda/engrenagem, a velocidade tangencial na borda é dada pela relação
onde
é a velocidade tangencial (magnitude),
é o raio da engrenagem e
é a velocidade angular. Vou explicar cada termo:
é a distância do centro ao ponto de contato;
é a rapidez angular (positivo no sentido escolhido); e
é a velocidade linear do ponto da borda.
Passo 3
Pela condição de não escorregamento, os módulos das velocidades tangenciais dos pontos em contato são iguais. Escrevendo para
e
,
Como as engrenagens giram em sentidos opostos no ponto de contato, há diferença de sinal entre
e
. Portanto a relação vetorial/algébrica é
Explicando o sinal: se
aumenta no sentido positivo, o sentido de
é oposto, daí o sinal negativo.
Passo 4
Para relacionar as acelerações angulares, diferenciamos a igualdade anterior em relação ao tempo. Como os raios são constantes, obtemos
onde
é a aceleração angular (derivada de
no tempo). Aqui usei que
porque
é constante.
Passo 5
Isolando
da equação do passo anterior:
Esta é a fórmula que vamos usar: o sinal negativo indica que
tem sentido oposto ao de
, e a razão dos raios reduz a magnitude quando
é maior que
.
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos:
Faço a simplificação passo a passo:
. Então
Transformando em número decimal (usar vírgula conforme convenção):
Unindo com a unidade, temos o valor final.
Passo 7
Interpretação final rápida (para prova): como
é maior que
, sua aceleração angular tem magnitude menor (
versus
) e o sinal negativo mostra que ela acelera no sentido oposto. Note que as unidades de comprimento (milímetros) cancelam na razão dos raios, então não precisamos convertê-las.