Exercício 34 (Taxas angulares em engrenagens). Duas engrenagens cilíndricas engrenam sem escorregamento. A engrenagem A tem raio r_{A}=50 \mathrm{~mm} e a B tem r_{B}=120 \mathrm{~mm}. Se a velocidade angular de A cresce a \dot{\omega}_{A}=+3 \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}, determine \dot{\omega}_{B}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a aceleração angular de B, dada a aceleração angular de A. Informações fornecidas:
r_{A}=50\\ \mathrm{mm},\qquad r_{B}=120\\ \mathrm{mm},\qquad \dot{\omega}_{A}=+3\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}.
Queremos encontrar \dot{\omega}_{B}.

Passo 2

Entendendo a condição física importante do enunciado: as duas engrenagens engrenam sem escorregamento. Isso significa que, no ponto de contato, as velocidades tangenciais das superfícies são iguais em módulo. Para uma roda/engrenagem, a velocidade tangencial na borda é dada pela relação
v = r\omega,
onde v é a velocidade tangencial (magnitude), r é o raio da engrenagem e \omega é a velocidade angular. Vou explicar cada termo: r é a distância do centro ao ponto de contato; \omega é a rapidez angular (positivo no sentido escolhido); e v é a velocidade linear do ponto da borda.

Passo 3

Pela condição de não escorregamento, os módulos das velocidades tangenciais dos pontos em contato são iguais. Escrevendo para A e B,
r_{A}\,\omega_{A}=r_{B}\,\omega_{B}\quad(\text{em módulo}).ó
Como as engrenagens giram em sentidos opostos no ponto de contato, há diferença de sinal entre \omega_{A} e \omega_{B}. Portanto a relação vetorial/algébrica é
r_{A}\,\omega_{A} = -\,r_{B}\,\omega_{B}.
Explicando o sinal: se \omega_{A} aumenta no sentido positivo, o sentido de \omega_{B} é oposto, daí o sinal negativo.

Passo 4

Para relacionar as acelerações angulares, diferenciamos a igualdade anterior em relação ao tempo. Como os raios são constantes, obtemos
r_{A}\,\dot{\omega}_{A} = -\,r_{B}\,\dot{\omega}_{B},
onde \dot{\omega} é a aceleração angular (derivada de \omega no tempo). Aqui usei que d(r\omega)/dt = r\,\dot{\omega} porque r é constante.

Passo 5

Isolando \dot{\omega}_{B} da equação do passo anterior:
\dot{\omega}_{B} = -\frac{r_{A}}{r_{B}}\,\dot{\omega}_{A}.
Esta é a fórmula que vamos usar: o sinal negativo indica que \dot{\omega}_{B} tem sentido oposto ao de \dot{\omega}_{A}, e a razão dos raios reduz a magnitude quando B é maior que A.

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos:
\dot{\omega}_{B} = -\frac{50}{120}\cdot 3.
Faço a simplificação passo a passo: \dfrac{50}{120}=\dfrac{5}{12}. Então
\dot{\omega}_{B} = -\frac{5}{12}\cdot 3 = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4}.
Transformando em número decimal (usar vírgula conforme convenção):
-\frac{5}{4} = -1,25.
Unindo com a unidade, temos o valor final.

Passo 7

Interpretação final rápida (para prova): como B é maior que A, sua aceleração angular tem magnitude menor ( 1,25 versus 3) e o sinal negativo mostra que ela acelera no sentido oposto. Note que as unidades de comprimento (milímetros) cancelam na razão dos raios, então não precisamos convertê-las.

Resposta

-1,25\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}^{2}

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