Seja T: U V uma transformação linear.
(a) Se os vetores v1, ldots, vm in U são L.I., prove que Ker(T)=0 também são L.I.
(b) Suponha que v1, ldots, vm. Mostre que, se U são vetores LI em V, então são LI em .

Passo 1

O enunciado afirma que temos uma transformação linear T:Uto V e pede duas coisas: (a) mostrar que se T(v1),dots,T(vm) são L.I. em V, então v1,dots,vm são L.I. em U; (b) supondo ainda que ker(T)=0, mostrar que se v1,dots,vm são L.I. em U, então T(v1),dots,T(vm) são L.I. em V. Vamos usar definição de independência linear e a linearidade de T.

Passo 2

Para começar, recordamos que vetores w1,dots,wk são L.I. se, sempre que a1w1 + cdots + akwk = 0,isso implica a1=cdots=ak=0.

Passo 3

Prova de (a): suponha que T(v1),dots,T(vm) sejam L.I. e que exista combinação linear em U a1v1 + cdots + amvm = 0 Como T é linear, aplicando-a obtemos T(a1v1 + cdots + amvm) = a1T(v1) + cdots + amT(vm) = T(0)=0 Pela hipótese de independência de T(vi), temos a1=cdots=am=0. Logo v1,dots,vm são L.I.

Passo 4

Prova de (b): agora suponha ker(T)=0 e que v1,dots,vm sejam L.I. em U. Suponha a1T(v1) + cdots + amT(vm) = 0 De novo, pela linearidade de T, T(a1v1 + cdots + amvm) = 0, o que significa que a1v1 + cdots + amvm in ker(T). Como ker(T)=0, temos a1v1 + cdots + amvm = 0 Pela independência de vi, segue a1=cdots=am=0, logo T(v1),dots,T(vm) são L.I.

Resposta

(a) Aplicando T a uma combinação linear nula dos vi e usando que T(vi) são L.I. obtemos que todos os coeficientes são zero, logo v1,dots,vm são L.I. (b) Se ker(T)=0, qualquer combinação linear nula de T(vi) leva a um vetor em ker(T), forçando a combinação original ser nula; como vi são L.I., os coeficientes são zero, logo T(v1),dots,T(vm) são L.I.

Exercícios relacionados