Seja
uma transformação linear.
(a) Se os vetores
são L.I., prove que
também são L.I.
(b) Suponha que
. Mostre que, se
são vetores LI em
, então
são LI em
.
(a) Se os vetores
(b) Suponha que
Passo 1
O enunciado afirma que temos uma transformação linear
e pede duas coisas: (a) mostrar que se
são L.I. em
, então
são L.I. em
; (b) supondo ainda que
, mostrar que se
são L.I. em
, então
são L.I. em
. Vamos usar definição de independência linear e a linearidade de
.
Passo 2
Para começar, recordamos que vetores
são L.I. se, sempre que
isso implica
.
Passo 3
Prova de (a): suponha que
sejam L.I. e que exista combinação linear em
Como
é linear, aplicando-a obtemos
Pela hipótese de independência de
, temos
. Logo
são L.I.
Passo 4
Prova de (b): agora suponha
e que
sejam L.I. em
. Suponha
De novo, pela linearidade de
,
o que significa que
. Como
, temos
Pela independência de
, segue
, logo
são L.I.
Resposta
(a) Aplicando
a uma combinação linear nula dos
e usando que
são L.I. obtemos que todos os coeficientes são zero, logo
são L.I. (b) Se
, qualquer combinação linear nula de
leva a um vetor em
, forçando a combinação original ser nula; como
são L.I., os coeficientes são zero, logo
são L.I.