Seja p um primo e a, b in Z.
Mostre que: Se p mid a b então, p mid a ou p mid b.
Generalize este resultado para um produto de ai 's quaisquer, isto é, se p mid a1 cdots an então, p mid ai para algum i in1, ldots, n.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o Lema de Euclides: dado um primo p e inteiros a,b, se pmid ab então pmid a ou pmid b. Depois, generalizar isso para um produto de n fatores a1a2cdots an. O conteúdo é Teoria dos Números — usamos definição de primo, máximo divisor comum (MDC) e a identidade de Bézout.

Passo 2

Primeiro provamos o caso de dois fatores. Suponha pmid ab. Se pmid a, acabamos. Caso contrário, pnmid a e como p é primo isso implica gcd(a,p)=1. Pela identidade de Bézout existem inteiros x,y tais que
ax + py = 1
Multiplicando ambos os lados por b obtemos
abx + pyb = b
Como pmid ab, temos pmid abx, e certamente pmid pyb. Logo pmid b. Isso fecha o caso de dois fatores.

Passo 3

Agora generalizamos para n fatores por indução. Para n=1 é trivial: se pmid a1 então está ok. Suponha o resultado válido para n-1. Considere pmid a1a2cdots an-1an. Escreva o produto como
(a1a2cdots an-1)cdot an
Pelo caso de dois fatores, p divide ou a1a2cdots an-1 ou an. Se pmid an acabamos. Se pmid a1a2cdots an-1, então pela hipótese de indução existe algum i tal que pmid ai.

Passo 4

Assim mostramos que, para qualquer n, se pmid a1a2cdots an então p divide pelo menos um dos ai.

Resposta

Seja p primo. Para quaisquer a1,dots,anin Z, se pmid a1a2cdots an então existe algum iin1,dots,n tal que pmid ai.

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