Seja
um primo e
.
Mostre que: Se
então,
ou
.
Generalize este resultado para um produto de
's quaisquer, isto é, se
então,
para algum
.
Mostre que: Se
Generalize este resultado para um produto de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o Lema de Euclides: dado um primo
e inteiros
, se
então
ou
. Depois, generalizar isso para um produto de
fatores
. O conteúdo é Teoria dos Números — usamos definição de primo, máximo divisor comum (MDC) e a identidade de Bézout.
Passo 2
Primeiro provamos o caso de dois fatores. Suponha
. Se
, acabamos. Caso contrário,
e como
é primo isso implica
. Pela identidade de Bézout existem inteiros
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Como
, temos
, e certamente
. Logo
. Isso fecha o caso de dois fatores.
Passo 3
Agora generalizamos para
fatores por indução. Para
é trivial: se
então está ok. Suponha o resultado válido para
. Considere
. Escreva o produto como
Pelo caso de dois fatores,
divide ou
ou
. Se
acabamos. Se
, então pela hipótese de indução existe algum
tal que
.
Passo 4
Assim mostramos que, para qualquer
, se
então
divide pelo menos um dos
.
Resposta
Seja
primo. Para quaisquer
, se
então existe algum
tal que
.