Exercício 33. Escreva como um único radical:
\sqrt{3 \sqrt{2}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever como um único radical a expressão \sqrt{3\sqrt{2}}.
Informação dada: a expressão é \sqrt{3\sqrt{2}}. O objetivo é reescrever essa expressão usando apenas um símbolo de radical (por exemplo \sqrt[n]{\cdot}).

Passo 2

Vamos lembrar algumas regras essenciais sobre raízes e potências (explicadas devagar para não pular nada):
  • A raiz enésima de um número a pode ser escrita como potência com expoente racional:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
  • Em particular, a raiz quadrada é
\sqrt{a}=a^{1/2}.
  • Regra de potência de um produto: para a,b>0 e r real vale
(ab)^r = a^r b^r.
  • Regra de potência de potência: para a>0 e m,n reais vale
\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}.
Essas regras são o que vamos usar para transformar a expressão em um único radical.

Passo 3

Reescrevo a expressão inicial usando expoentes racionais. Primeiro vou escrever a raiz interna como potência:
\sqrt{3\sqrt{2}}=\left(3\cdot\sqrt{2}\right)^{1/2}=\left(3\cdot 2^{1/2}\right)^{1/2}.

Passo 4

Agora aplico a regra (ab)^r=a^r b^r:
\left(3\cdot 2^{1/2}\right)^{1/2}=3^{1/2}\cdot\left(2^{1/2}\right)^{1/2}.
Usando \left(2^{1/2}\right)^{1/2}=2^{(1/2)\cdot(1/2)}=2^{1/4}, fica
3^{1/2}\cdot 2^{1/4}.

Passo 5

Para juntar em um único radical, coloco os expoentes com o mesmo denominador. Escrevo 3^{1/2} como 3^{2/4}, assim
3^{1/2}\cdot 2^{1/4}=3^{2/4}\cdot 2^{1/4}=(3^2\cdot 2)^{1/4}.
Como 3^2\cdot 2=9\cdot 2=18, obtemos
(3^2\cdot 2)^{1/4}=18^{1/4}.
Escrevendo em notação de radical, isso é a raiz quarta de 18:
18^{1/4}=\sqrt[4]{18}.

Resposta

\sqrt[4]{18}

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