Exercício 2.33. Resolva o PVI y d yd t+3 t y=0, y(1)=1. Esboce o gráfico da função obtida.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial (PVI)
y,dydt + 3,t,y = 0, y(1)=1
O conteúdo que vamos usar é equação diferencial de primeira ordem separável.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
y,dydt = -3,t,y
Como no PVI dado a solução não é a trivial yequiv0 (pois y(1)=1), podemos dividir ambos os lados por y, obtendo
dydt = -3,t

Passo 3

Agora separamos as variáveis y e t:
dy = -3,t,dt
Integramos ambos os lados:
integral dy = integral -3,t,dt Longrightarrow y = -32,t^2 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(1)=1:
1 = -32cdot 1^2 + C Longrightarrow C = 1 + 32 = 52

Passo 5

Logo a solução do PVI é
y(t) = -32,t^2 + 52
Esse é um polinômio de segundo grau que abre para baixo, com vértice em t=0 e y(0)=tfrac52, e zeros em t=pmraiztfrac53.

Resposta

y(t) = -32,t^2 + 52
Esboço do gráfico: uma parábola voltada para baixo, passando por (1,1), com vértice em l(0,tfrac52r).

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