Exercício 34 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Resolva as equações exponenciais:
raiz5^x-2 cdot raiz[x]25^2 x-5-raiz[2 x]5^3 x-2=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial com radicais
raiz5^x-2;cdot;raiz[x]25^2x-5;-;raiz[2x]5^3x-2;=;0
O conteúdo envolve manipular radicais como potências de base 5 e depois igualar expoentes.

Passo 2

Reescrevemos cada radical como potência de expoente fracionário, lembrando que 25=5^2:
raiz5^x-2=(5^x-2)^tfrac12=5^x-22,
raiz[x]25^2x-5=l((5^2)^2x-5r)^1x =5^2(2x-5)x =5^4x-10x,
raiz[2x]5^3x-2=(5^3x-2)^12x =5^3x-22x

Passo 3

Substituindo na equação original obtemos
5^x-22;cdot;5^4x-10x ;-; 5^3x-22x =0 Longrightarrow 5^x-22 + 4x-10x =5^3x-22x
Como a base 5>0 e distinta de 1, podemos igualar os expoentes:
x-22 + 4x-10x = 3x-22x

Passo 4

Resolvendo a equação dos expoentes:
multiplicamos ambos os lados por 2x para eliminar denominadores:
2xcdotx-22 ;+;2xcdot4x-10x =3x-2 Longrightarrow x(x-2)+2(4x-10)=3x-2
Distribuindo e somando termos:
x^2-2x+8x-20=3x-2 Longrightarrow x^2+6x-20-3x+2=0 Longrightarrow x^2+3x-18=0
Usando a fórmula de Bhaskara ( De<a=9+72=81):
x=-3pmraiz812 ;Longrightarrow; x=-3+92=3 ou x=-3-92=-6

Passo 5

Verificamos o domínio: como temos raízes de índices x e 2x, precisamos xneq0. Ambos x=3 e x=-6 satisfazem isso, e o radicando é sempre positivo, logo estão válidos.

Resposta

x=3 ou x=-6.

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