Exercício 34 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Resolva as equações exponenciais:
3^x+2 9^x243^5 x+1=81^2 x27^3-4 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
3^x+2cdot 9^x243^5x+1 ;=;81^2x27^3-4x
O conteúdo principal aqui é usar mudança de base para expressar todos os termos como potências de 3 e, em seguida, igualar os expoentes (já que 3^a=3^b implica a=b).

Passo 2

Reescrevendo cada termo em base 3:
9^x = (3^2)^x = 3^2x, 243^5x+1 = (3^5)^5x+1 = 3^25x+5
Logo,
3^x+2cdot 9^x243^5x+1 = 3^x+2cdot 3^2x3^25x+5

Passo 3

No numerador somamos os expoentes e subtraímos o do denominador:
3^x+2cdot 3^2x = 3^(x+2)+(2x) = 3^3x+2,
então
3^3x+23^25x+5 = 3^(3x+2)-(25x+5) = 3^-22x-3

Passo 4

Agora o lado direito:
81^2x = (3^4)^2x = 3^8x, 27^3-4x = (3^3)^3-4x = 3^9-12x
Portanto,
81^2x27^3-4x = 3^8x3^9-12x = 3^,8x - (9-12x) = 3^20x-9

Passo 5

Como agora temos
3^-22x-3 = 3^20x-9,
podemos igualar os expoentes:
-22x - 3 = 20x - 9
Resolvendo:
-22x - 20x = -9 + 3 Longrightarrow -42x = -6 Longrightarrow x = -6-42 = 17

Resposta

x = 17

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