Exercício 36 (Taxa de variação da concentração). Um tanque de V=500 \mathrm{~L} contém salmoura bem misturada. A entrada é q_{\text {in }}=5 \mathrm{~L} / \mathrm{min} a concentração c_{\text {in }}=0,20 \mathrm{~kg} / \mathrm{L}; a saída é igual, 5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Se a concentração atual é c=0,08 \mathrm{~kg} / \mathrm{L}, calcule \frac{d c}{d t}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d c}{d t} no instante em que a concentração dentro do tanque é c=0,08\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}. Dados fornecidos:
V=500\\ \mathrm{L},
q_{\text{in}}=5\\ \mathrm{L}/\mathrm{min},
q_{\text{out}}=5\\ \mathrm{L}/\mathrm{min},
c_{\text{in}}=0,20\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L},
c=0,08\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}.

Passo 2

Vamos definir as quantidades físicas que vamos usar. Seja S(t) a massa de sal no tanque em \mathrm{kg} no instante t. A concentração c(t) é massa por volume, então a relação entre S e c é
S(t)=V\cdot c(t).
Aqui V é o volume total do líquido no tanque (em \mathrm{L}) e c(t) é a concentração ( \mathrm{kg}/\mathrm{L}). Essa relação é óbvia: massa = volume × concentração.

Passo 3

Agora calculamos as taxas (em \mathrm{kg}/\mathrm{min}) de entrada e saída de sal:
  • Taxa de entrada de sal = vazão de entrada \times concentração da entrada, isto é
\text{in} = q_{\text{in}}\cdot c_{\text{in}}.
  • Taxa de saída de sal = vazão de saída \times concentração dentro do tanque (porque a solução está bem misturada), isto é
\text{out} = q_{\text{out}}\cdot c(t).
Essas taxas têm unidade \mathrm{L}/\mathrm{min}\times \mathrm{kg}/\mathrm{L}=\mathrm{kg}/\mathrm{min}.

Passo 4

A equação diferencial para a massa de sal é: taxa de variação da massa = entrada menos saída,
\frac{dS}{dt}=\text{in}-\text{out}=q_{\text{in}}c_{\text{in}}-q_{\text{out}}c(t).

Passo 5

Substituímos S(t)=V c(t) e usamos derivada para passar para concentração. Como V é constante (vazões de entrada e saída iguais), temos
\frac{dS}{dt}=V\frac{dc}{dt}.
Portanto
V\frac{dc}{dt}=q_{\text{in}}c_{\text{in}}-q_{\text{out}}c(t).
Isolando \dfrac{dc}{dt},
\frac{dc}{dt}=\frac{q_{\text{in}}}{V}\,c_{\text{in}}-\frac{q_{\text{out}}}{V}\,c(t).
Como q_{\text{in}}=q_{\text{out}}=q, podemos simplificar para a forma conhecida
\frac{dc}{dt}=\frac{q}{V}\bigl(c_{\text{in}}-c(t)\bigr).

Passo 6

Agora substituímos os valores numéricos no instante dado c(t)=0,08\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}. Primeiro calcule \dfrac{q}{V}:
\frac{q}{V}=\frac{5\\ \mathrm{L}/\mathrm{min}}{500\\ \mathrm{L}}=0,01\\ \mathrm{min}^{-1}.
Depois calcule a diferença de concentrações:
c_{\text{in}}-c=0,20-0,08=0,12\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L}.
Multiplicando:
\frac{dc}{dt}=0,01\cdot 0,12=0,0012.
A unidade resultante é \mathrm{kg}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{min}) (variação de concentração por minuto).

Passo 7

Interpretação do sinal: \dfrac{dc}{dt}=0,0012>0 significa que a concentração está aumentando nesse instante — faz sentido porque a concentração da entrada ( 0,20) é maior que a concentração atual do tanque ( 0,08), então mais sal entra do que sai.

Resposta

\dfrac{dc}{dt}=0,0012\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{L}\cdot\mathrm{min})

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