Exercício 36 (Taxa de variação da concentração). Um tanque de
contém salmoura bem misturada. A entrada é
a concentração
; a saída é igual,
. Se a concentração atual é
, calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
no instante em que a concentração dentro do tanque é
. Dados fornecidos:
Passo 2
Vamos definir as quantidades físicas que vamos usar. Seja
a massa de sal no tanque em
no instante
. A concentração
é massa por volume, então a relação entre
e
é
Aqui
é o volume total do líquido no tanque (em
) e
é a concentração (
). Essa relação é óbvia: massa = volume × concentração.
Passo 3
Agora calculamos as taxas (em
) de entrada e saída de sal:
- Taxa de entrada de sal = vazão de entrada
concentração da entrada, isto é
- Taxa de saída de sal = vazão de saída
concentração dentro do tanque (porque a solução está bem misturada), isto é
Essas taxas têm unidade
.
Passo 4
A equação diferencial para a massa de sal é: taxa de variação da massa = entrada menos saída,
Passo 5
Substituímos
e usamos derivada para passar para concentração. Como
é constante (vazões de entrada e saída iguais), temos
Portanto
Isolando
,
Como
, podemos simplificar para a forma conhecida
Passo 6
Agora substituímos os valores numéricos no instante dado
. Primeiro calcule
:
Depois calcule a diferença de concentrações:
Multiplicando:
A unidade resultante é
(variação de concentração por minuto).
Passo 7
Interpretação do sinal:
significa que a concentração está aumentando nesse instante — faz sentido porque a concentração da entrada (
) é maior que a concentração atual do tanque (
), então mais sal entra do que sai.