Exercício 3.35. Calcule a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante t na trajetória seguida por uma partícula em cada caso.
\vec{r}(t)=\left(\frac{4}{5} \cos t, 1-\operatorname{sen} t,-\frac{3}{5} \cos t\right);

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
\vec{r}(t)=\left(\frac{4}{5}\cos t,\;1-\sin t,\;-\frac{3}{5}\cos t\right).
O que é pedido: calcular, para todo t,
  • a aceleração tangencial (magnitudinal) \,a_t(t)\, e
  • a aceleração centrípeta (também chamada aceleração normal, magnitudinal) \,a_c(t)\,.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os componentes de \vec{r}(t) são \dfrac{4}{5}\cos t, 1-\sin t e -\dfrac{3}{5}\cos t.
  • Será preciso derivar \vec{r}(t) para obter \vec{v}(t) e \vec{a}(t).

Passo 2

Vamos calcular a velocidade \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt}. Derivando componente a componente (regra: derivada de \cos t é -\sin t, de \sin t é \cos t, constantes vão a zero):
\vec{v}(t)=\left(\frac{d}{dt}\!\left(\frac{4}{5}\cos t\right),\;\frac{d}{dt}\!(1-\sin t),\;\frac{d}{dt}\!\left(-\frac{3}{5}\cos t\right)\right).
Calculando:
\vec{v}(t)=\left(-\frac{4}{5}\sin t,\; -\cos t,\; \frac{3}{5}\sin t\right).

Passo 3

Agora a aceleração \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^2\vec{r}}{dt^2}. Derivando cada componente de \vec{v}(t):
\vec{a}(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right).

Passo 4

Vamos calcular a rapidez (módulo da velocidade) |\vec{v}(t)|. Primeiro |\vec{v}(t)|^2:
|\vec{v}(t)|^2=\left(-\frac{4}{5}\sin t\right)^2+(-\cos t)^2+\left(\frac{3}{5}\sin t\right)^2.
|\vec{v}(t)|^2=\frac{16}{25}\sin^2 t+\cos^2 t+\frac{9}{25}\sin^2 t =\frac{25}{25}\sin^2 t+\cos^2 t=\sin^2 t+\cos^2 t=1.
Portanto
|\vec{v}(t)|=1\quad\text{para todo }t.
Comentário curto de física: a partícula desloca-se com velocidade de módulo constante igual a 1.

Passo 5

Definição e cálculo da aceleração tangencial (magnitudinal) a_t(t).
  • Conceito: a aceleração tangencial a_t mede a taxa de variação da rapidez; formula simples:
a_t(t)=\frac{d}{dt}\bigl(|\vec{v}(t)|\bigr).
Como aqui |\vec{v}(t)|=1 é constante, sua derivada é zero:
a_t(t)=0\quad\text{para todo }t.
Breve explicação: não há variação de rapidez, logo não há componente de aceleração tangente ao movimento.

Passo 6

Verificação alternativa do resultado de a_t usando produto escalar (útil para provas e para aprender outra forma):
  • Fórmula equivalente (quando |\vec{v}|\neq0):
a_t(t)=\frac{\vec{v}(t)\cdot\vec{a}(t)}{|\vec{v}(t)|}.
Calculando o produto escalar:
\vec{v}\cdot\vec{a}=\left(-\frac{4}{5}\sin t\right)\left(-\frac{4}{5}\cos t\right)+(-\cos t)(\sin t)+\left(\frac{3}{5}\sin t\right)\left(\frac{3}{5}\cos t\right).
\vec{v}\cdot\vec{a}=\frac{16}{25}\sin t\cos t-\sin t\cos t+\frac{9}{25}\sin t\cos t =\left(\frac{16+9}{25}-1\right)\sin t\cos t=0.
Como |\vec{v}(t)|=1, obtemos a_t(t)=0, confirmando o passo anterior.

Passo 7

Cálculo da aceleração centrípeta (magnitudinal) a_c(t).
  • Conceito: a aceleração centrípeta (ou normal) mede a componente de \vec{a} perpendicular à tangente e é responsável por curvar a trajetória. Quando a_t=0, a magnitude total de \vec{a} é pura aceleração centrípeta:
a_c(t)=\sqrt{|\vec{a}(t)|^2-a_t(t)^2}=\sqrt{|\vec{a}(t)|^2}.
Logo basta calcular |\vec{a}(t)|. Primeiro |\vec{a}(t)|^2:
|\vec{a}(t)|^2=\left(-\frac{4}{5}\cos t\right)^2+(\sin t)^2+\left(\frac{3}{5}\cos t\right)^2 =\frac{16}{25}\cos^2 t+\sin^2 t+\frac{9}{25}\cos^2 t.
|\vec{a}(t)|^2=\frac{25}{25}\cos^2 t+\sin^2 t=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
Portanto
|\vec{a}(t)|=1\quad\text{e assim}\quad a_c(t)=1\quad\text{para todo }t.

Passo 8

Interpretação vetorial (útil para a prova):
  • A componente tangencial vetorial é \displaystyle \vec{a}_t=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{|\vec{v}|^2}\,\vec{v}=0, porque \vec{v}\cdot\vec{a}=0.
  • A componente normal (centrípeta) vetorial é \vec{a}_n=\vec{a}-\vec{a}_t=\vec{a}. Ou seja, a aceleração inteira é perpendicular à velocidade e coincide com \vec{a}(t):
\vec{a}_n(t)=\vec{a}(t)=\left(-\frac{4}{5}\cos t,\; \sin t,\; \frac{3}{5}\cos t\right).
Resumo físico: velocidade de módulo 1 (movimento uniforme em velocidade), toda a aceleração é normal, de módulo 1, curvando a trajetória sem alterar a rapidez.

Resposta

a_t(t)=0
a_c(t)=1

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