Exercício 3.35. Calcule a aceleração tangencial e a aceleração centrípeta para todo instante
na trajetória seguida por uma partícula em cada caso.
;
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como função do tempo:
O que é pedido: calcular, para todo
,
- a aceleração tangencial (magnitudinal)
e - a aceleração centrípeta (também chamada aceleração normal, magnitudinal)
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os componentes de
são , e . - Será preciso derivar
para obter e .
Passo 2
Vamos calcular a velocidade
. Derivando componente a componente (regra: derivada de
é
, de
é
, constantes vão a zero):
Calculando:
Passo 3
Agora a aceleração
. Derivando cada componente de
:
Passo 4
Vamos calcular a rapidez (módulo da velocidade)
. Primeiro
:
Portanto
Comentário curto de física: a partícula desloca-se com velocidade de módulo constante igual a
.
Passo 5
Definição e cálculo da aceleração tangencial (magnitudinal)
.
- Conceito: a aceleração tangencial
mede a taxa de variação da rapidez; formula simples:
Como aqui
é constante, sua derivada é zero:
Breve explicação: não há variação de rapidez, logo não há componente de aceleração tangente ao movimento.
Passo 6
Verificação alternativa do resultado de
usando produto escalar (útil para provas e para aprender outra forma):
- Fórmula equivalente (quando
):
Calculando o produto escalar:
Como
, obtemos
, confirmando o passo anterior.
Passo 7
Cálculo da aceleração centrípeta (magnitudinal)
.
- Conceito: a aceleração centrípeta (ou normal) mede a componente de
perpendicular à tangente e é responsável por curvar a trajetória. Quando , a magnitude total de é pura aceleração centrípeta:
Logo basta calcular
. Primeiro
:
Portanto
Passo 8
Interpretação vetorial (útil para a prova):
- A componente tangencial vetorial é
, porque . - A componente normal (centrípeta) vetorial é
. Ou seja, a aceleração inteira é perpendicular à velocidade e coincide com :
Resumo físico: velocidade de módulo 1 (movimento uniforme em velocidade), toda a aceleração é normal, de módulo 1, curvando a trajetória sem alterar a rapidez.