Exercício 35 Encontre a inversa de cada uma das matrizes a seguir.
\left[\begin{array}{rrr}1 & -3 & -3 \\2 & 6 & 1 \\3 & 8 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz A dada. Aqui estão os dados que temos (a matriz enviada):
A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & -3\\[4pt] 2 & 6 & 1\\[4pt] 3 & 8 & 3 \end{array}\right]
A pergunta é: qual é A^{-1}?]

Passo 2

Vamos usar o método de Gauss–Jordan: construir a matriz aumentada [A\mid I] e aplicar operações elementares por linhas até obter [I\mid A^{-1}].
Lembrete rápido sobre operações por linhas: as operações permitidas (que não mudam a solução) são
\text{(i)}\; R_i \leftrightarrow R_j,\qquad \text{(ii)}\; R_i \leftarrow c\,R_i\; (c\neq0),\qquad \text{(iii)}\; R_i \leftarrow R_i + c\,R_j.
O objetivo é transformar a parte esquerda em I_3. Começamos com a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 6 & 1 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 3 & 8 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 3

Eliminar os elementos abaixo do pivô a_{11}=1. Faço
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Cálculo das linhas novas:
  • R_2 = [2,6,1\mid 0,1,0] - 2[1,-3,-3\mid 1,0,0] = [0,12,7\mid -2,1,0].
  • R_3 = [3,8,3\mid 0,0,1] - 3[1,-3,-3\mid 1,0,0] = [0,17,12\mid -3,0,1].
Aumentada fica
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 12 & 7 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 17 & 12 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 4

Normalizar o pivô da segunda linha dividindo por 12:
R_2 \leftarrow \tfrac{1}{12}R_2 = [0,1,\tfrac{7}{12}\mid -\tfrac{1}{6},\tfrac{1}{12},0].
Agora a matriz aumentada é
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & -3 & -3 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & \tfrac{7}{12} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{12} & 0\\[4pt] 0 & 17 & 12 & -3 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 5

Eliminar o elemento 17 em a_{32} e também zerar a_{12}=-3. Faço
R_3 \leftarrow R_3 - 17R_2,\qquad R_1 \leftarrow R_1 + 3R_2.
Calculemos:
  • Para R_3: coluna 3 fica 12 - 17\cdot\tfrac{7}{12} = \tfrac{144-119}{12}=\tfrac{25}{12}.
    As entradas aumentadas: -3 -17\cdot(-\tfrac{1}{6}) = -3 + \tfrac{17}{6} = -\tfrac{1}{6};
    0 -17\cdot\tfrac{1}{12} = -\tfrac{17}{12};
    1 -17\cdot 0 = 1.
    Logo R_3=[0,0,\tfrac{25}{12}\mid -\tfrac{1}{6}, -\tfrac{17}{12},1].
  • Para R_1: coluna 3 fica -3 + 3\cdot\tfrac{7}{12} = -\tfrac{15}{12} = -\tfrac{5}{4}.
    Entradas aumentadas: 1 + 3\cdot(-\tfrac{1}{6}) = \tfrac{1}{2}; 0 + 3\cdot\tfrac{1}{12} = \tfrac{1}{4}; 0+3\cdot0=0.
    Então R_1=[1,0,-\tfrac{5}{4}\mid \tfrac{1}{2},\tfrac{1}{4},0].
Aumentada agora:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -\tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{7}{12} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{12} & 0\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{25}{12} & -\tfrac{1}{6} & -\tfrac{17}{12} & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Normalizar o pivô da terceira linha dividindo por \tfrac{25}{12} (ou multiplicando por \tfrac{12}{25}):
R_3 \leftarrow \tfrac{12}{25}R_3 = [0,0,1\mid -\tfrac{2}{25}, -\tfrac{17}{25}, \tfrac{12}{25}].
Aumentada:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & -\tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} & 0\\[6pt] 0 & 1 & \tfrac{7}{12} & -\tfrac{1}{6} & \tfrac{1}{12} & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{25} & -\tfrac{17}{25} & \tfrac{12}{25} \end{array}\right]]

Passo 7

Eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna:
R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{7}{12}R_3,\qquad R_1 \leftarrow R_1 + \tfrac{5}{4}R_3.
Calculemos cuidadosamente as entradas aumentadas.
Para R_2:
  • primeira entrada aumentada: -\tfrac{1}{6} - \tfrac{7}{12}\cdot\left(-\tfrac{2}{25}\right) = -\tfrac{1}{6} + \tfrac{14}{300} = -\tfrac{25}{150} + \tfrac{7}{150} = -\tfrac{3}{25}.
  • segunda: \tfrac{1}{12} - \tfrac{7}{12}\cdot\left(-\tfrac{17}{25}\right) = \tfrac{1}{12} + \tfrac{119}{300} = \tfrac{25}{300} + \tfrac{119}{300} = \tfrac{144}{300} = \tfrac{12}{25}.
  • terceira: 0 - \tfrac{7}{12}\cdot\tfrac{12}{25} = -\tfrac{7}{25}.
Assim R_2 = [0,1,0\mid -\tfrac{3}{25}, \tfrac{12}{25}, -\tfrac{7}{25}].
Para R_1:
  • primeira aumentada: \tfrac{1}{2} + \tfrac{5}{4}\cdot\left(-\tfrac{2}{25}\right) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{10}{100} = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{10} = \tfrac{2}{5}.
  • segunda: \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{4}\cdot\left(-\tfrac{17}{25}\right) = \tfrac{1}{4} - \tfrac{85}{100} = \tfrac{5}{20} - \tfrac{17}{20} = -\tfrac{12}{20} = -\tfrac{3}{5}.
  • terceira: 0 + \tfrac{5}{4}\cdot\tfrac{12}{25} = \tfrac{60}{100} = \tfrac{3}{5}.
Então R_1 = [1,0,0\mid \tfrac{2}{5}, -\tfrac{3}{5}, \tfrac{3}{5}].
Agora a matriz aumentada é [I\mid A^{-1}]:
\left[\begin{array}{rrr|rrr} 1 & 0 & 0 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{5}\\[6pt] 0 & 1 & 0 & -\tfrac{3}{25} & \tfrac{12}{25} & -\tfrac{7}{25}\\[6pt] 0 & 0 & 1 & -\tfrac{2}{25} & -\tfrac{17}{25} & \tfrac{12}{25} \end{array}\right]]

Passo 8

Ler a parte direita como A^{-1}. Para apresentação com denominador comum 25 (opcional) pode-se escrever
A^{-1}=\frac{1}{25}\left[\begin{array}{rrr} 10 & -15 & 15\\[4pt] -3 & 12 & -7\\[4pt] -2 & -17 & 12 \end{array}\right],
que é equivalente à forma com frações individuais.]

Resposta

A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr} \tfrac{2}{5} & -\tfrac{3}{5} & \tfrac{3}{5}\\[6pt] -\tfrac{3}{25} & \tfrac{12}{25} & -\tfrac{7}{25}\\[6pt] -\tfrac{2}{25} & -\tfrac{17}{25} & \tfrac{12}{25} \end{array}\right]]

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