Exercício 35 Encontre a inversa de cada uma das matrizes a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a inversa da matriz
dada. Aqui estão os dados que temos (a matriz enviada):
A pergunta é: qual é
?]
Passo 2
Vamos usar o método de Gauss–Jordan: construir a matriz aumentada
e aplicar operações elementares por linhas até obter
.
Lembrete rápido sobre operações por linhas: as operações permitidas (que não mudam a solução) são
O objetivo é transformar a parte esquerda em
. Começamos com a matriz aumentada:
Passo 3
Eliminar os elementos abaixo do pivô
. Faço
Cálculo das linhas novas:
-
. -
.
Aumentada fica
Passo 4
Normalizar o pivô da segunda linha dividindo por
:
Agora a matriz aumentada é
Passo 5
Eliminar o elemento
em
e também zerar
. Faço
Calculemos:
-
Para
: coluna 3 fica .
As entradas aumentadas: ;
;
.
Logo . -
Para
: coluna 3 fica .
Entradas aumentadas: ; ; .
Então .
Aumentada agora:
Passo 6
Normalizar o pivô da terceira linha dividindo por
(ou multiplicando por
):
Aumentada:
Passo 7
Eliminar os elementos acima do pivô da terceira coluna:
Calculemos cuidadosamente as entradas aumentadas.
Para
:
- primeira entrada aumentada:
- segunda:
- terceira:
Assim
.
Para
:
- primeira aumentada:
- segunda:
- terceira:
Então
.
Agora a matriz aumentada é
:
Passo 8
Ler a parte direita como
. Para apresentação com denominador comum
(opcional) pode-se escrever
que é equivalente à forma com frações individuais.]