Exercício 35 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Resolva as inequações exponenciais:
(27^x-2)^x+1 >=(9^x+1)^x-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
l(27^x-2r)^x+1>=l(9^x+1r)^x-3
O conteúdo envolvido é manipulação de potências e solução de inequações quadráticas, além da propriedade de que funções do tipo a^y com a>1 são crescentes, permitindo comparar expoentes.

Passo 2

Usamos a identidade (a^b)^c=a^bc e escrevemos 27=3^3, 9=3^2. Assim
(27^x-2)^x+1=3^3(x-2)(x+1), (9^x+1)^x-3=3^2(x+1)(x-3)
A inequação fica
3^3(x-2)(x+1)>=3^2(x+1)(x-3)

Passo 3

Como a base 3 é maior que 1, podemos comparar diretamente os expoentes:
3(x-2)(x+1)>=2(x+1)(x-3)
Expandindo ambos os lados:
3l(x^2-x-2r)>=2l(x^2-2x-3r) ;;Longrightarrow;; 3x^2-3x-6>=2x^2-4x-6 ;;Longrightarrow;; x^2+x>=0

Passo 4

A inequação quadrática ,x(x+1)>=0 tem raízes em x=-1 e x=0 e, por ser um parabola voltada para cima, é satisfeita para
xin(-infty,-1]cup[0,infty)

Resposta

(-infty,-1]cup[0,infty)

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