Exercício 36 - (IEZZI; DOLCE; MURAKAMI, 2006) Resolva as inequações logarítmicas:
log 12(x^2-1)>log 12(3 x+9)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação logarítmica
logtfrac12l(x^2-1r)>logtfrac12(3x+9)
Aqui o conteúdo é inequação envolvendo logaritmo de base a=tfrac12, que satisfaz 0<a<1. Nesse caso a função loga(cdot) é decrescente, então ao “eliminar” os logaritmos a desigualdade se inverte. Além disso, precisamos garantir que os argumentos dos logaritmos sejam positivos.

Passo 2

Encontrar o domínio de existência dos dois logaritmos:
  1. Para logtfrac12(x^2-1) é preciso
x^2-1>0 Longrightarrow x<-1ou x>1
  1. Para logtfrac12(3x+9) é preciso
3x+9>0 Longrightarrow x>-3
Logo o domínio comum é
(x<-1;ou;x>1);cap;(x>-3) ;Longrightarrow; -3<x<-1ou x>1

Passo 3

Como logtfrac12(u) é decrescente, a desigualdade
logtfrac12l(x^2-1r)>logtfrac12(3x+9)
é equivalente a
x^2-1<3x+9

Passo 4

Resolver a inequação polinomial
x^2-1<3x+9 Longrightarrow x^2-3x-10<0
Fatorando,
x^2-3x-10=(x+2)(x-5)<0
essa expressão é negativa quando x está entre as raízes, isto é,
-2<x<5

Passo 5

Fazendo a interseção da solução -2<x<5 com o domínio (-3,-1)cup(1,infty), obtemos
(-2,-1)cup(1,5)

Resposta

(-2,-1);cup;(1,5)

Exercícios relacionados