Exercício 0.36 Obtenha o conjunto solução.
|x+1|-|1-x|>x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
|x+1| \;-\; |1-x| \;>\; x.
O conteúdo aqui é desigualdade envolvendo valores absolutos. Para resolver, vamos usar a técnica de partir o domínio em intervalos nos quais os argumentos dos valores absolutos trocam de sinal.

Passo 2

Os argumentos são x+1 e 1-x. Eles mudam de sinal em x=-1 e em x=1. Logo, consideramos três intervalos disjuntos:
x<-1, -1\le x<1 e x\ge1. Em cada um, substituímos |x+1| e |1-x| por expressões sem valor absoluto e resolvemos a desigualdade resultante.

Passo 3

Intervalo x<-1:
- Aqui x+1<0, então |x+1|=-(x+1).
- Também 1-x>0, então |1-x|=1-x.
Substituindo na desigualdade:
-(x+1)\;-\;(1-x) > x \;\;\Longrightarrow\;\; -\,x -1 -1 + x > x \;\;\Longrightarrow\;\; -2 > x.
A condição x<-1 junto com -2>x dá como solução parcial
x < -2.

Passo 4

Intervalo -1\le x<1:
- Aqui x+1\ge0, logo |x+1|=x+1.
- E 1-x>0, logo |1-x|=1-x.
Substituindo:
(x+1)\;-\;(1-x) > x \;\;\Longrightarrow\;\; x+1 -1 + x > x \;\;\Longrightarrow\;\; 2x > x \;\;\Longrightarrow\;\; x > 0.
Juntando com -1\le x<1 ficamos com
0 < x < 1.

Passo 5

Intervalo x\ge1:
- Aqui x+1\ge0, logo |x+1|=x+1.
- E 1-x\le0, logo |1-x|=x-1.
Substituindo:
(x+1)\;-\;(x-1) > x \;\;\Longrightarrow\;\; x+1 - x +1 > x \;\;\Longrightarrow\;\; 2 > x \;\;\Longrightarrow\;\; x < 2.
Combinando com x\ge1 obtemos
1 \le x < 2.

Passo 6

Agora unimos todas as soluções parciais:
x < -2, \quad 0 < x < 1, \quad 1 \le x < 2.
Note que (0,1)\cup[1,2) = (0,2). Portanto, a solução final é
(-\infty,-2)\;\cup\;(0,2).

Resposta

\,(-\infty,-2)\cup(0,2)\,

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