Exercício 2.36. Calcule a curvatura das seguintes funções:
\vec{r}(t)=\left(\frac{1}{3}(1+t)^{3 / 2}, \frac{1}{3}(1-t)^{3 / 2}, \frac{t}{\sqrt{2}}\right);

Passo 1

O enunciado pede a curvatura de uma curva no espaço dada por \displaystyle \vec r(t)=\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) onde
x(t)=\frac{1}{3}(1+t)^{3/2},\quad y(t)=\frac{1}{3}(1-t)^{3/2},\quad z(t)=\frac{t}{\sqrt{2}}.
O conteúdo é geometria diferencial de curvas: usamos a fórmula
\kappa(t)=\frac{\|\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t)\|}{\|\vec r\,'(t)\|^3}.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiras e segundas:
\vec r\,'(t) =\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) =\Bigl(\tfrac12(1+t)^{1/2},\,-\tfrac12(1-t)^{1/2},\,\tfrac1{\sqrt2}\Bigr),
\vec r\,''(t) =\bigl(x''(t),y''(t),z''(t)\bigr) =\Bigl(\tfrac14(1+t)^{-1/2},\,\tfrac14(1-t)^{-1/2},\,0\Bigr).

Passo 3

Formamos o produto vetorial
\vec r\,'(t)\times\vec r\,''(t) =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\ \tfrac12(1+t)^{1/2} & -\tfrac12(1-t)^{1/2} & \tfrac1{\sqrt2}\\\ \tfrac14(1+t)^{-1/2} & \tfrac14(1-t)^{-1/2} & 0 \end{vmatrix}.
O resultado é
\vec r\,'\times\vec r\,'' =\Bigl(-\tfrac{1}{4\sqrt2}(1-t)^{-1/2},\;\tfrac{1}{4\sqrt2}(1+t)^{-1/2},\; \tfrac18\bigl(\sqrt{\tfrac{1+t}{1-t}}+\sqrt{\tfrac{1-t}{1+t}}\bigr)\Bigr).

Passo 4

Calculamos o módulo ao quadrado e depois a raiz:
\|\vec r\,'\times\vec r\,''\|^2 =\frac1{16(1-t^2)}+\frac1{16(1-t^2)} =\frac1{8(1-t^2)},
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\|\vec r\,'\times\vec r\,''\| =\frac1{2\sqrt{2(1-t^2)}}.

Passo 5

Calculamos o módulo de \vec r\,'(t):
\|\vec r\,'(t)\|^2 =\frac14(1+t)+\frac14(1-t)+\frac12 =1,
então \|\vec r\,'(t)\|=1.

Passo 6

Substituindo na fórmula da curvatura, como \|\vec r\,'\|=1, fica
\kappa(t) =\|\vec r\,'\times\vec r\,''\| =\frac1{2\sqrt{2(1-t^2)}}.

Resposta

\boxed{\kappa(t)=\frac1{2\sqrt{2\,(1-t^2)}}.}

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