Suponha que a temperatura num ponto
é dada por
, em que
é medida em Celsius. No ponto
, em qual direção a temperatura aumenta mais rápido? Qual é a maior taxa de variação?
Passo 1
O enunciado dá a temperatura no plano por
e pede, no ponto
, (a) a direção em que
aumenta mais rápido e (b) a maior taxa de variação.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
A direção de maior aumento de uma função
é dada pelo vetor gradiente
e a maior taxa de variação nesse ponto é
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais usando a regra da cadeia sobre
Temos
Passo 4
No ponto
o denominador é
. Logo
portanto
Passo 5
A direção de máximo aumento é o vetor gradiente normalizado:
Passo 6
A maior taxa de variação é a norma do gradiente:
Resposta
A direção de maior aumento em
é
e a maior taxa de variação vale