Suponha que a temperatura num ponto (x, y) é dada por T(x, y)=100 /\left(1+x^{2}+3 y^{2}\right), em que T é medida em Celsius. No ponto (1,1), em qual direção a temperatura aumenta mais rápido? Qual é a maior taxa de variação?

Passo 1

O enunciado dá a temperatura no plano por
T(x,y)=\frac{100}{1+x^{2}+3y^{2}},
e pede, no ponto (1,1), (a) a direção em que T aumenta mais rápido e (b) a maior taxa de variação.
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

A direção de maior aumento de uma função T(x,y) é dada pelo vetor gradiente
\nabla T(x,y)=\bigl(T_x(x,y),\,T_y(x,y)\bigr),
e a maior taxa de variação nesse ponto é \|\nabla T(x,y)\|.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais usando a regra da cadeia sobre
T(x,y)=100\,(1+x^2+3y^2)^{-1}.
Temos
T_x=-100\cdot(1+x^2+3y^2)^{-2}\cdot 2x=-\frac{200x}{(1+x^2+3y^2)^2},
T_y=-100\cdot(1+x^2+3y^2)^{-2}\cdot 6y=-\frac{600y}{(1+x^2+3y^2)^2}.

Passo 4

No ponto (1,1) o denominador é (1+1+3)^2=5^2=25. Logo
T_x(1,1)=-\frac{200\cdot1}{25}=-8,\quad T_y(1,1)=-\frac{600\cdot1}{25}=-24,
portanto
\nabla T(1,1)=(-8,\,-24).

Passo 5

A direção de máximo aumento é o vetor gradiente normalizado:
\frac{\nabla T(1,1)}{\|\nabla T(1,1)\|} =\frac{(-8,-24)}{\sqrt{(-8)^2+(-24)^2}} =\frac{(-8,-24)}{\sqrt{640}} =\frac{(-1,-3)}{\sqrt{10}}.

Passo 6

A maior taxa de variação é a norma do gradiente:
\|\nabla T(1,1)\|=\sqrt{(-8)^2+(-24)^2}=\sqrt{640}=8\sqrt{10}.

Resposta

A direção de maior aumento em (1,1) é
\frac{(-1,-3)}{\sqrt{10}},
e a maior taxa de variação vale
8\sqrt{10}\quad\bigl(\text{\circC por unidade de comprimento}\bigr).

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